已知函数f(x)=1/3x^3-
已知函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2-2a^2+1
(1)求函数f(x)的极值
(2)若函数y=f(x)的图像与y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围
(3)已知不等式f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1，正无穷）都成立，求实数a的取值范围
解：
(1)函数一阶导数:f'(x)=x^2-ax=0,
算出x1=0, x2=a为对应的极值横坐标。
带入x1,x2 则f(x1)和f(x2)就是对应的极值,
f(x1)=f(0)=-2a^2+1
f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1
函数二阶导数f''(x）=2x-a
二阶导数为正，就是极小；
二阶导数为负，则是极...全部
已知函数f(x)=1/3x^3-1/2ax^2-2a^2+1
(1)求函数f(x)的极值
(2)若函数y=f(x)的图像与y=0恰有三个交点，求实数a的取值范围
(3)已知不等式f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1，正无穷）都成立，求实数a的取值范围
解：
(1)函数一阶导数:f'(x)=x^2-ax=0,
算出x1=0, x2=a为对应的极值横坐标。
带入x1,x2 则f(x1)和f(x2)就是对应的极值,
f(x1)=f(0)=-2a^2+1
f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1
函数二阶导数f''(x）=2x-a
二阶导数为正，就是极小；
二阶导数为负，则是极大；
a>0则 f''(0)0>f''(a);f(a)极大,f(0)极小
a=0则 f''(0)=0,没有极值，因为f''(0)=0二阶导数在点0也是0，但三阶导数为2不是零。
(2)图像与y=0恰有三个交点，请看Matlab图像，
充要条件是x1≠x2并且f(x1)*f(x2)0时(由(1)问f(0)极大,f(a)极小得到以下不等式)，
由f(x1)=f(0)=-2a^2+1>0
推出 -0。
70710。6877，
所以0。68770。7071，
由f(x2)=f(a)==-1/6a^3-2a^2+1>0，
推出:a1-1/x,
而1-1/x的最大值是1当x∈（1,+∞）时取x=+∞，
所以推出a>=1时f'(x)＜x^2-x+1对任意x∈（1,+∞）成立。
另外有函数曲线图帮助理解。
。收起
