矩阵理论1.证明任何一个复矩阵A
1。
ⅰ。
先设A为上三角矩阵,且对角线的元素:λ1,。。,λn
则A=diag{λ1,。。,λn}+N,
其中diag{λ1,。。,λn}对角矩阵,N为上三角矩阵对角线的元素都是0。
==>
N的特征多项式=|xE-N|=x^n,由Hamilton-Cayley定理得:
N^n=0 ==>N是幂零矩阵
==>命题成立。
ⅱ。
任何一个复矩阵A,则有上三角矩阵B和A相似,如:Jordan标准型
==>
A=PBP^(-1)
由ⅰ。 得:B=D+M,其中D是对角矩阵,M是幂零矩阵,
==>
A=PDP^(-1)+PMP^(-1)
==>
PDP^(-1)是可对角化矩阵,PMP^(-1...全部
1。
ⅰ。
先设A为上三角矩阵,且对角线的元素:λ1,。。,λn
则A=diag{λ1,。。,λn}+N,
其中diag{λ1,。。,λn}对角矩阵,N为上三角矩阵对角线的元素都是0。
==>
N的特征多项式=|xE-N|=x^n,由Hamilton-Cayley定理得:
N^n=0 ==>N是幂零矩阵
==>命题成立。
ⅱ。
任何一个复矩阵A,则有上三角矩阵B和A相似,如:Jordan标准型
==>
A=PBP^(-1)
由ⅰ。
得:B=D+M,其中D是对角矩阵,M是幂零矩阵,
==>
A=PDP^(-1)+PMP^(-1)
==>
PDP^(-1)是可对角化矩阵,PMP^(-1)是幂零矩阵。
2。
ⅰ。
矩阵A的特征多项式f(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(ai)
最小多项式g(x)=∏{1≤i≤k}(x-λi)^(bi)
A的 Jordan标准型中有ci个关于λi的Jordan块,
根据定理得:则bi=这ci个Jordan块的最大阶数。
ⅱ。
若ai=bi==>ci=1,
即Jordan标准型中只有1个关于λi的Jordan块。
==>
如果矩阵A的特征多项式和最小多项式相同
Jordan标准型中每个不同的λi,只有1个关于λi的Jordan块。
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