三角函数最大值问题

求y=(sinx)^3sin3x的最大值.

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2010-08-29

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解: 用高数方法极易,用初等数学方法相对难些: y=(sinx)^3sin3x =(sinx)^2(sinxsin3x) =(1-cos2x)/2*(-1/2)*(cos4x-cos2x) =(-1/4)*(1-cos2x)[2(cos2x)^2-1-cos2x] =(-1/4)*(1-cos2x)(-1+2cos2x) =1/4*(1-cos2x)(1+2cos2x)(1-cos2x) =<1/4*[(1-cos2x+2cos2x+1+1-cos2x)/3]^3 =1/4 当且仅当1-cos2x=2cos2x+1, 即cos2x=0时,等号成立。
故y|max=1/4。

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l***

2010-08-29

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    设t=sinx,则t∈[-1,1], y=t^3*(3t-4t^3)=3t^4-4t^6,记为f(t)。 y'=12t^3-24t^5, 令y'=0,得t1=0,t2=1/√2，t3=-1/√2。
   f(t1)=0,f(t2)=1/4=f(t3)。 ∴y|max=1/4。   解2：y=(sinx)^2*sinxsin3x =(1-cos2x)[cos2x-cos4x]/4 =(1-cos2x)[cos2x-2(cos2x)^2+1]/4 =(1-cos2x)^2*[1+2cos2x]/4 <={[2(1-cos2x)+1+2cos2x)]/3}^3/4 =1/4，当cos2x=0时取等号。
     ∴y|max=1/4。

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