数学不等式三角函数f(x)=ax^2
1。
证明：因为：a>b>c a+b+c=0，所以：
i）a>0>b>c,即：a=-(b+c)（如：a=3,b=-1,c=-2）
那么：a/(a-c)=[-(b+c)]/[-(b+c)-c]=(b+c)/(b+2c)=[(b+2c)-c]/(b+2c)=1-[c/(b+2c)]
因为0>b>c,所以：b+2c>c+2c=3c
所以：c/(b+2c)>c/(3c)=1/3
那么：1-[c/(b+2c)]b>0>c,即：c=-(a+b)（如：a=2,b=1,c=-3）
那么：a/(a-c)=a/[a+(a+b)]=a/(2a+b)>a/(2a+a)=1/3……（2）
iii）a>b=0>c，即...全部
1。
证明：因为：a>b>c a+b+c=0，所以：
i）a>0>b>c,即：a=-(b+c)（如：a=3,b=-1,c=-2）
那么：a/(a-c)=[-(b+c)]/[-(b+c)-c]=(b+c)/(b+2c)=[(b+2c)-c]/(b+2c)=1-[c/(b+2c)]
因为0>b>c,所以：b+2c>c+2c=3c
所以：c/(b+2c)>c/(3c)=1/3
那么：1-[c/(b+2c)]b>0>c,即：c=-(a+b)（如：a=2,b=1,c=-3）
那么：a/(a-c)=a/[a+(a+b)]=a/(2a+b)>a/(2a+a)=1/3……（2）
iii）a>b=0>c，即：a=-c，b=0（如：a=1,b=0,c=-1）
那么：a/(a-c)=a/(2a)=1/2……………………………………（3）
联立(1)(2)(3)得到：
1/3
ax^+2(b+1)x=2x-c
===> ax^+2bx+c=0，对于二次函数y=ax^+2bx+c
△=b^-4ac=(2b)^-4ac=4(b^-ac)=4[(a+c)^-ac]=4(a^+ac+c^)
=4{[a+(c/2)]^+[(3c^)/4]}
因为：a>b>c，所以：a、c不同时为零。
所以：
△>0
也就是说，二次函数y=ax^+2bx+c=0有两个不相等的实数根。所以：
f(x)与g(x)必有两个不同的交点。
3。
由（2）知：二次函数y=ax^+2bx+c=0有两个不相等的实数根，那么点A、B就是它的两个实数根。
不妨设A(x1,y1)、B(x2,y2)
因为点A、B均在直线g(x)=2x-c上，所以：y1=2x1-c,y2=2x2-c
而，|AB|表示的是点AB之间线段的长度，所以：
S=|AB|=√[(x1-x2)^+(y1-y2)^]=√{(x1-x2)^+[(2x1-c)-(2x2-c)]^}
=√[(x1-x2)^+4(x1-x2)^]
=(√5)*√(x1-x2)^…………………………………………（4）
而，对于二次函数y=ax^+2bx+c=0有两个不相等的实数根，有：
x1+x2=(-b/a)=-2b/a
x1*x2=c/a
所以：(x1-x2)^=(x1+x2)^-4x1x2=[(-2b)/a]^-4(c/a)
=(4b^/a^)-(4ac/a^)=4(b^-ac)/a^
所以：S=|AB|=(√5)*√[4(b^-ac)/a^]=(2√5)*√[(b^-ac)/a^]
令：(b^-ac)/a^=U，那么：
U=[b^+(b+c)c]/(b+c)^=(b^+bc+c^)/(b+c)^=[(b+c)^-bc]/(b+c)^
=1-[(bc)/(b+c)^]>1-[(bc)/(2√bc)^]=1-(1/4)=3/4
所以：S>(2√5)*√(3/4)=√15………………………………（5）
同理，S<√2*√15
所以：√15 收起
