设a,b,c,d是实数,求证:a^2+b^2=2,c^2+d^2=2,ac=bd成立的条件是当且仅当a^2+c^2=2,b^2+d^2=2,ab=cd均成立
初中数学，急！
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先证左推出右
因为 ac=bd 所以 a^2c^2=b^2d^2,
两边同时加上b^2c^2得到
a^2c^2+b^2c^2=b^2d^2+b^2c^2
即有 (a^2+b^2)c^2=(c^2+d^2)b^2,
即 2c^2=2b^2,c^2=b^2
因此又有 a^2=d^2,
所以 a^2+c^2=2,b^2+d^2=2
且由 ac=bd有
0=（ac-bd)^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd
=a^2b^2+c^2d^2-2abcd
=(ab-cd)^2
所以有ab=cd。
右边推左边完全类似。 再给一个几何证明： 由题意以AC=|a|,BC=|b|,AB=sqrt(2)作一个直角三角形ABC，AB=sqrt(2)为斜边，再以AB为斜边，DA=|c|,DB=|d|为直角边做直角三角形ABD,由 ∠ACB=∠BDA=90° AC：BD=BC:AD 知两直角三角形相似，又由斜边相等知相似比为1。
，即全等。 于是|a|=|d|,|b|=|c|,故有 a^2+c^2=2,b^2+d^2=2 |ab|=|cd|,分析正负号或者 由ac=bd有 0=（ac-bd)^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd =a^2b^2+c^2d^2-2abcd =(ab-cd)^2 所以有ab=cd。
当然，这里假设abcd均不为零，有零的情形是很容易的 右推左完全类似。
右边推左边完全类似。 再给一个几何证明： 由题意以AC=|a|,BC=|b|,AB=sqrt(2)作一个直角三角形ABC，AB=sqrt(2)为斜边，再以AB为斜边，DA=|c|,DB=|d|为直角边做直角三角形ABD,由 ∠ACB=∠BDA=90° AC：BD=BC:AD 知两直角三角形相似，又由斜边相等知相似比为1。
，即全等。 于是|a|=|d|,|b|=|c|,故有 a^2+c^2=2,b^2+d^2=2 |ab|=|cd|,分析正负号或者 由ac=bd有 0=（ac-bd)^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcd =a^2b^2+c^2d^2-2abcd =(ab-cd)^2 所以有ab=cd。
当然，这里假设abcd均不为零，有零的情形是很容易的 右推左完全类似。
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