求值cot15cot25cot35cot85

求值:cot15cot25cot35cot85.(这里为表达方便,将"度"省略).

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2010-05-08

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解: cot15cot25cot35cot85 =tan75tan65tan55tan5 =tan75tan5[(根3+tan5)/(1-根3*tan5)][(根3-tan5)/(1+根3*tan5)] =tan75tan5[3-(tan5)^2]/[1-3(tan5)^2] =tan75tan5[3(cos5)^2-(sin5)^2]/[(cos5)^2-3(sin5)^2] =tan75tan5[2(cos10)+1]/[2(cos10)-1] =tan75(2sin5cos10+sin5)/(2cos5cos10-cos5) =tan75(sin15-sin5+sin5)/(cos15+cos5-cos5) =tan75tan15 =tan15cot15 =1。
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l***

2010-05-08

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cot15cot25cot35cot85 =tan75tan65tan55tan5 =tan75tan5(√3+tan5)/(1-√3tan5)×(√3-tan5)/(1+√3tan5) =tan75tan5(3-tan25)/(1-3tan25) =tan75tan5(3cos25-sin25)/(cos25-3sin25) =tan75(2sin5cos10+sin5)/(2cos5cos10-cos5) =tan75(sin15-sin5+sin5)/(cos15+cos5-cos5) =tan75tan15 =1 。
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