数学

请问初二一次函数有简单的讲解吗？

一次函数 一次函数的实例 一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。 常用公式展开 　　【读音】yī cì hán shù 　　【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。 表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。 基本定义 　　变量：变化的量...全部

  一次函数 一次函数的实例 一次函数（linear function），也作线性函数，在x,y坐标轴中可以用一条直线表示，当一次函数中的一个变量的值确定时，可以用一元一次方程确定另一个变量的值。
   常用公式展开 　　【读音】yī cì hán shù 　　【解释】函数的基本概念：在一个变化过程中，有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值，在y中都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说y是x的函数，也可以说x是自变量，y是因变量。
  表示为y＝kx＋b（k≠0，k、b均为常数），当b＝0时称y为x的正比例函数，正比例函数是一次函数中的特殊情况。可表示为y=kx。 基本定义 　　变量：变化的量（可取不同值） 　　常量：不变的量（固定不变） 　　自变量k和X的一次函数y有如下关系： 　　y=kx+b （k为任意不为零常数，b为任意常数） 　　当x取一个值时，y有且只有一个值与x对应。
  如果有2个及以上个值与x对应时，就不是一次函数。 　　x为自变量，y为函数值，k为常数，y是x的一次函数。 　　特别的，当b=0时，y是x的正比例函数。即：y=kx （k为常量，但K≠0）正比例函数图像经过原点。
   　　定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际相符合。 相关性质 　　函数性质： 　　1。y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k。 　　即：y=kx+b（k≠0) （k不等于0，且k、b为常数）， 　　∵当x增加m，k（x+m)+b=y+km,km/m=k。
   　　2。当x=0时，b为函数在y轴上的点,坐标为(0，b)。 　　3。k为一次函数y=kx+b的斜率,k=tanΘ(角Θ为一次函数图象与x轴正方向夹角，Θ≠90°) 　　形、取、象、交、减。
   　　4。当b=0时(即 y=kx)，一次函数图像变为正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。 　　5。在两个一次函数表达式中： 　　当两一次函数表达式中的k相同，b也相同时，两一次函数图像重合； 　　当两一次函数表达式中的k相同，b不相同时，两一次函数图像平行； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b不相同时，两一次函数图像相交； 　　当两一次函数表达式中的k不相同，b相同时，两一次函数图像交于y轴上的同一点（0，b）。
   图像性质 　　1．作法与图形：通过如下３个步骤： 　　（1）列表。 　　（2）描点；[一般取两个点,根据“两点确定一条直线”的道理，也可叫“两点法”。 　　（3）连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。
  因此，作一次函数的图像只需知道２点，并连成直线即可。（通常找函数图像与x轴和y轴的交点分别是-k分之b与0，0与b）。 　　2．性质：（1）在一次函数上的任意一点P（x，y），都满足等式：y=kx+b(k≠0)。
  （2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总是交于（-b/k，0）正比例函数的图像都是过原点。 　　3．函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系。 　　4．k，b与函数图像所在象限： 　　y=kx时（即b等于0，y与x成正比例)： 　　当k＞0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大； 　　当k＜0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。
   　　y=kx+b时： 　　当 k>0,b>0, 这时此函数的图象经过第一、二、三象限； 　　当 k>0,b0, 这时此函数的图象经过第一、二、四象限； 　　当 ky2，则x1与x2的大小关系是（ ） 　　A。
   x1>x2 B。 x10，且y1>y2。根据一次函数的性质“当k>0时，y随x的增大而增大”，得x1>x2。故选A。 　　三、判断函数图象的位置 　　例3。 一次函数y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（ ） 　　A。
   第一象限 B。 第二象限 　　C。 第三象限 D。 第四象限 　　解：由kb>0，知k、b同号。因为y随x的增大而减小，所以k30时，Y1>Y2 　　当X<30时，Y1  求这个正比例函数的解析式。 　　（2）已知一次函数的图象经过A（－1，2）和B（3，－5）两点，求此一次函数的解析式。 　　解：（1）设所求正比例函数的解析式为 　　把 ，y=5代入上式 　　得 ，解之，得 　　∴所求正比例函数的解析式为 　　（2）设所求一次函数的解析式为 　　∵此图象经过A（－1，2）、B（3，－5）两点，此两点的坐标必满足 ，将 、y=2和x=3、 分别代入上式，得 　　解得 　　∴此一次函数的解析式为 　　点评：（1） 不能化成带分数。
  （2）所设定的解析式中有几个待定系数，就需根据已知条件列几个方程。 　　例2。 拖拉机开始工作时，油箱中有油20升，如果每小时耗油5升，求油箱中的剩余油量Q（升）与工作时间t（时）之间的函数关系式，指出自变量x的取值范围，并且画出图象。
   　　分析：拖拉机一小时耗油5升，t小时耗油5t升，以20升减去5t升就是余下的油量。 　　解： 　　图象如下图所示 　　点评：注意函数自变量的取值范围。该图象要根据自变量的取值范围而定，它是一条线段，而不是一条直线。
   　　例3。 已知一次函数的图象经过点P（－2，0），且与两坐标轴截得的三角形面积为3，求此一次函数的解析式。 　　分析：从图中可以看出，过点P作一次函数的图象，和y轴的交点可能在y轴正半轴上，也可能在y轴负半轴上，因此应分两种情况进行研究，这就是分类讨论的数学思想方法。
   　　解：设所求一次函数解析式为 　　∵点P的坐标为（－2，0） 　　∴|OP|=2 　　设函数图象与y轴交于点B（0，m） 　　根据题意，SΔPOB=3 　　∴|m|=3 　　∴一次函数的图象与y轴交于B1（0，3）或B2（0，－3） 　　将P（－2，0）及B1（0，3）或P（－2，0）及B2（0，－3）的坐标代入y=kx+b中，得 　　解得 　　∴所求一次函数的解析式为 　　点评：（1）本题用到分类讨论的数学思想方法。
  涉及过定点作直线和两条坐标轴相交的问题，一定要考虑到方向，是向哪个方向作。可结合图形直观地进行思考，防止丢掉一条直线。（2）涉及面积问题，选择直角三角形两条直角边乘积的一半，结果一定要得正值。
   　　【考点指要】 　　　一次函数的定义、图象和性质在中考说明中是C级知识点，特别是根据问题中的条件求函数解析式和用待定系数法求函数解析式在中考说明中是D级知识点。它常与反比例函数、二次函数及方程、方程组、不等式综合在一起，以选择题、填空题、解答题等题型出现在中考题中，大约占有8分左右。
  解决这类问题常用到分类讨论、数形结合、方程和转化等数学思想方法。 　　例3 如果一次函数y=kx+b中x的取值范围是-2≤x≤6，相应的函数值的范围是-11≤y≤9。求此函数的的解析式。 　　解： 　　（1）若k＞0，则可以列方程组 -2k+b=-11 　　6k+b=9 　　解得k=2。
  5 b=-6 ，则此时的函数关系式为y=2。5x—6 　　（2）若k＜0，则可以列方程组 -2k+b=9 　　6k+b=-11 　　解得k=-2。5 b=4，则此时的函数解析式为y=-2。
  5x+4 　　【考点指要】 　　　此题主要考察了学生对函数性质的理解，若k＞0，则y随x的增大而增大；若k＜0，则y随x的增大而减小。 综合测试 　　一、　选择题： 　　1。 若正比例函数y=kx的图象经过一、三象限，则k的取值范围是（ ） 　　A。
  k≠0 B。k＜0 C。k＞0 D。k为任意值　 　　2。 一根蜡烛长20cm，点燃后每小时燃烧5cm，燃烧时剩下的高度y（cm）与燃烧时间x（小时）的函数关系用图象表示为（ ） 　　3。
   （北京市）一次函数 的图象不经过的象限是（ ） 　　A。 第一象限 B。 第二象限 C。 第三象限 D。 第四象限 　　4。 （陕西省课改实验区）直线 与x轴、y轴所围成的三角形的面积为（ ） 　　A。
   3 B。 6 C。 D。 　　5。 （海南省）一次函数 的大致图象是（ ） 　　二、　填空题： 　　1。 若一次函数y=kx+b的图象经过（0，1）和（－1，3）两点，则此函数的解析式为_____________。
   　　2。 （2006年北京市中考题）若正比例函数y=kx的图象经过点（1，2），则此函数的解析式为_____________。 　　三、 　　一次函数的图象与y轴的交点为（0，－3），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，求这个一次函数的解析式。
   　　四、（芜湖市课改实验区） 　　某种内燃动力机车在青藏铁路试验运行前，测得该种机车机械效率η和海拔高度h（ ，单位km）的函数关系式如图所示。 　　（1）请你根据图象写出机车的机械效率η和海拔高度h（km）的函数关系； 　　（2）求在海拔3km的高度运行时，该机车的机械效率为多少？ 　　五、（浙江省丽水市） 　　如图建立羽毛球比赛场景的平面直角坐标系，图中球网高OD为1。
  55米，双方场地的长OA=OB=6。7（米）。羽毛球运动员在离球网5米的点C处起跳直线扣杀，球从球网上端的点E直线飞过，且DE为0。05米，刚好落在对方场地点B处。 　　（1）求羽毛球飞行轨迹所在直线的解析式； 　　（2）在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度FC为多少米？（结果精确到0。
  1米） 　　【综合测试答案】 　　　一、选择题： 　　1。 B 2。 B 3。 D 4。 A 5。 B 　　二、填空题： 　　1。y=-2x+1 2。 y=2x 　　三、分析：一次函数的解析式y=kx+b有两个待定系数，需要利用两个条件建立两个方程。
  题目中一个条件比较明显，即图象和y轴的交点的纵坐标是－3，另一个条件比较隐蔽，需从“和坐标轴围成的面积为6”确定。 　　解：设一次函数的解析式为 y=kx+b， 　　∵函数图象和y轴的交点的纵坐标是－3， 　　∴ 　　∴函数的解析式为 。
   　　求这个函数图象与x轴的交点，即解方程组： 　　得 　　即交点坐标为（ ，0） 　　由于一次函数图象与两条坐标轴围成的直角三角形的面积为6，由三角形面积公式，得 　　∴ 　　∴ 　　∴这个一次函数的解析式为 　　四、解：（1）由图象可知， 与h的函数关系为一次函数 　　设 　　∵此函数图象经过（0，40%），（5，20%）两点 　　∴ 解得 　　∴ 　　（2）当h=3km时， 　　∴当机车运行在海拔高度为3km的时候，该机车的机械效率为28% 　　五、解：（1）依题意，设直线BF为y=kx+b 　　∵OD=1。
  55，DE=0。05 　　∴ 　　即点E的坐标为（0，1。6） 　　又∵OA=OB=6。7 　　∴点B的坐标为（－6。7，0） 　　由于直线经过点E（0，1。6）和点B（－6。7，0），得 　　解得 ，即 ： 　　（2）设点F的坐标为（5，），则当x=5时， 　　则FC=2。
  8 　　∴在这次直线扣杀中，羽毛球拍击球点离地面的高度是2。8米 常见题型 　　常见题型一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是高中解析几何的基石，更是中考的重点考查内容。其中求一次函数解析式就是一类常见题型。
  现以部分中考题为例介绍几种求一次函数解析式的常见题型。希望对同学们的学习有所帮助。 　　一。 定义型 例1。 已知函数 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知 ，故一次函数的解析式为 注意：利用定义求一次函数 解析式时，要保证 。
  如本例中应保证 　　二。 点斜型 例2。 已知一次函数 的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数 的图像过点（2，－1） ，即 故这个一次函数的解析式为 变式问法：已知一次函数 ，当 时，y＝－1，求这个函数的解析式。
   　　三。 两点型 已知某个一次函数的图像与x轴、y轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为 由题意得 故这个一次函数的解析式为 　　四。
   图像型 例4。 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为 由图可知一次函数 的图像过点（1，0）、（0，2） 有 故这个一次函数的解析式为 　　五。
   斜截型 例5。 已知直线 与直线 平行，且在y轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线 ： ； ： 。当 ， 时， 直线 与直线 平行， 。 又 直线 在y轴上的截距为2， 故直线的解析式为 　　六。
   平移型 例6。 把直线 向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为 ， 直线 向下平移2个单位得到的直线 与直线 平行 直线 在y轴上的截距为 ，故图像解析式为 七。
   实际应用型 例7。 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为0。2升/分钟，则油箱中剩油量Q（升）与流出时间t（分钟）的函数关系式为___________。 解：由题意得 ，即 故所求函数的解析式为 （ ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。
   　　八。 面积型 例8。 已知直线 与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为__________。 解：易求得直线与x轴交点为（ ，0），所以 ，所以 ，即 故直线解析式为 或 　　九。
   对称型 若直线 与直线 关于 （1）x轴对称，则直线l的解析式为 （2）y轴对称，则直线l的解析式为 （3）直线y＝x对称，则直线l的解析式为 （4）直线 对称，则直线l的解析式为 （5）原点对称，则直线l的解析式为 例9。
   若直线l与直线 关于y轴对称，则直线l的解析式为____________。 解：由（2）得直线l的解析式为 　　十。 开放型 例10。 已知函数的图像过点A（1，4），B（2，2）两点，请写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程。
   解：（1）若经过A、B两点的函数图像是直线，由两点式易得 （2）由于A、B两点的横、纵坐标的积都等于4，所以经过A、B两点的函数图像还可以是双曲线，解析式为 （3）其它（略） 　　十一。 几何型 例11。
   如图，在平面直角坐标系中，A、B是x轴上的两点， ， ，以AO、BO为直径的半圆分别交AC、BC于E、F两点，若C点的坐标为（0，3）。（1）求图像过A、B、C三点的二次函数的解析式，并求其对称轴；（2）求图像过点E、F的一次函数的解析式。
   解：（1）由直角三角形的知识易得点A（ ，0）、B（ ，0），由待定系数法可求得二次函数解析式为 ，对称轴是 （2）连结OE、OF，则 、 。过E、F分别作x、y轴的垂线，垂足为M、N、P、G，易求得E（ ， ）、F（ ， ）由待定系数法可求得一次函数解析式为 　　十二。
   方程型 例12。 若方程 的两根分别为 ，求经过点P（ ， ）和Q（ ， ）的一次函数图像的解析式 解：由根与系数的关系得 ， ， 点P（11，3）、Q（－11，11） 设过点P、Q的一次函数的解析式为 则有 解得 故这个一次函数的解析式为 　　十三。
   综合型 例13。 已知抛物线 的顶点D在双曲线 上，直线 经过点D和点C（a、b）且使y随x的增大而减小，a、b满足方程组 ，求这条直线的解析式。
   解：由抛物线 的顶点D（ ）在双曲线上，可求得抛物线的解析式为： ，顶点D1（1，－5）及 顶点D2（ ，－15） 解方程组得 ， 即C1（－1，－4），C2（2，－1） 由题意知C点就是C1（－1，－4），所以过C1、D1的直线是 ；过C1、D2的直线是数学术语 。收起