还是那道高数题，谢谢

设u0,u1...为满足un=u(n+1）^2+u(n+2)^2+...(n=1,2,3...)的实数列，且u1+u2+...收敛。证明：任意k属于N,有uk=0

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2009-10-31

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    1。显然有un=u(n+1）^2+u(n+2)^21。显然有un=u(n+1）^2+u(n+2)^2+。。。≥0，(n=0，1,2,3。。。) Lim{n→∞}un=0。
   un或都是0或不都是0。 2。 f(x)=x-1-lnx,x≥1 ==> f'(x)=1-1/x≥0 ==> x>1,f(x)>f(1)=0 ==> x-1>lnx 3。
     反证法：设un>0。 un-u(n+1)=[u(n+1）^2+u(n+2)^2+。。。]-[u(n+2）^2+u(n+3)^2+。。。]=u(n+1）^2 ==> u(n+1)=[un-u(n+1)]/u(n+1)=un/u(n+1)-1 (n=0,1,2,3。
    。。) ≥ ln[un/u(n+1)] ==> u1+u2+。。。+u(n+1)≥ln[u0/u1]+ln[u1/u1]+。。。+ln[un/u(n+1)]= =ln(u0)-ln(u(n+1)) Lim{n→∞}[ln(u0)-ln(u(n+1))]=+∞ ==> u1+u2+。
    。。≥+∞ 和u1+u2+。。。收敛矛盾。所以un都是0。。

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