组合问题:四面体的顶点和六条棱的
共面四点有69组，不共面四点有141组。
如图
设四面体PABC的棱PA、PB、PC中点a,b,c，棱AB、BC、CA中点d,e,f。
先计算四点共面的组数。
若四点都是中点，则有3组；
若三点是中点，另一点是顶点。 这三中点只能在同一侧面内，比如bce，则另一点在这侧面内3个顶点中选1，4个侧面，计4*3=12组；
若两点是中点，另两点是顶点。先从顶点考虑，每条棱有两个顶点，比如PA，两种情况：
中点a 在PA上，PaA共线，在另5个中点中选1都与PaA都共面，6条棱，计6*5=30组；
中点不在PA上，只有bd,cf两组分别与PA共面，6条棱，计6*2=12组；
若一点是中点，另三点...全部
共面四点有69组，不共面四点有141组。
如图
设四面体PABC的棱PA、PB、PC中点a,b,c，棱AB、BC、CA中点d,e,f。
先计算四点共面的组数。
若四点都是中点，则有3组；
若三点是中点，另一点是顶点。
这三中点只能在同一侧面内，比如bce，则另一点在这侧面内3个顶点中选1，4个侧面，计4*3=12组；
若两点是中点，另两点是顶点。先从顶点考虑，每条棱有两个顶点，比如PA，两种情况：
中点a 在PA上，PaA共线，在另5个中点中选1都与PaA都共面，6条棱，计6*5=30组；
中点不在PA上，只有bd,cf两组分别与PA共面，6条棱，计6*2=12组；
若一点是中点，另三点是顶点。
三顶点在同侧面内，比如PAB，中点在这侧面内3中点中选1，4个侧面，计有4*3=12组。
不可能只有顶点的情况。
四点共面的组数=3+12+30+12+12=69组。
10点中选4点组合，有C10,4)=210种，其中只有共面和不共面两种情况。
四点不共面的组数是210-69=141组。
。收起
