二阶常系数非齐次线性方程的特征方程

    为了书写习惯起见，将问题中的记号改一下： 在求解二阶常系数非齐次线性方程，即y''+py'+qy=f(x)过程中，设f(x)=Q(x)exp(ux)，其中Q(x)是一个m次多项式;再设y=z(x)exp(ux)，计算出的一阶和二阶导数，代入该二阶常系数非齐次线性方程，得到： (u^2+pu+q)z+(2u+p)z'+z''=Q(x), 之后分三种情况进行讨论，分别是： 1、u不是特征方程的根： 2、u是特征方程的单根： 3、u是特征方程的重根； …… 这我就不理解了，特征方程是怎么回事？它的解为什么与方程的解有关系？ 释疑： 二阶常系数非齐次线性方程：y''+a1y'+a2y=q(x)exp(ux)， (1) 其中q(x)是一个m次多项式； 相应的齐次线性方程： y''+py'+qy=0， (2) 齐次线性方程(2)的特征方程： r^2+pr+q=0 （3） 关于特征方程(3)的由来这里不再解释； 下面要说明的是：特征方程(3)的解不仅与齐次方程(2)的通解相关，而且与非齐次方程(1)的通解密切相关。
     理由如下： (I)特征方程(3)的根是用来构造齐次方程(2)的两个线性无关的特解 y1(x)和y2(x)的，而齐次方程(2)的通解就是这两个特解的线性组合，即 Y(x)=c1*y1(x)+c2*y2(x)。
   (II)设非齐次线性方程的一个特解y*=z(x)exp(ux)，并代入非齐次线性方程，得到： z''+(2u+p)z'+(u^2+pu+q)z=Q(x), (4) (i)若u不是特征方程(3)的根，则u^2+pu+q≠0,由(4)知z(x)是m次多项式(注意：(4)的左边三项中最后一项的次数最高),故设(1)的特解为： y*=Qm(x)*exp(ux)。
     (ii)若u是特征方程(3)的单根，则u^2+pu+q=0,但2u+p≠0，此时(4)成为 z''+(2u+p)z'=Q(x), (5) 可见z'是m次多项式，从而z(x)是m+1次多项式，故设(1)的特解为： y*=xQm(x)*exp(ux)。
     (iii)若u是特征方程(3)的重根，则u^2+pu+q=0,且2u+p=0，此时(4)成为 z''=Q(x), (6) 可见z”是m次多项式，从而z(x)是m+2次多项式，故设(1)的特解为： y*=x^2Qm(x)*exp(ux)。
     综上所述，二阶常系数非齐次线性方程(1)的特解可设为： y*=x^kQm(x)*exp(ux), 其中k=0,1,2。这里k的取值分别对应u不是特征方程(3)的根、单根、重根。
   最后，非齐次方程(1)的通解为： y=Y(x)+y*(x)=c1*y1(x)+c2*y2(x)+y*(x)。   从(I),(II)的讨论可知，无论是求齐次方程(2)的通解，还是求非齐次方程(1)的特解和通解，都紧密地和特征方程(3)联系在一起。
   注记：从原理上讲，求解常系数非齐次微分方程与求解线性方程组一样，都是先求对应齐次方程的通解Y，再求非齐次方程的一个特解y*，这样就可以得到非齐次方程的通解。   。