约数

证明题试证如果一个三位数能被37

设三位数abc能被37整除(a、b、c为0-9的中的数字，且a≠0)，即100a+10b+c=37n，(n为自然数)，则由同样数字组成的三位数有：acb、bac、bca、cab、cba,它们与abc的差分别为： abc-acb=9b-9c=9(b-c) abc-bac=90(a-b) abc-bca=99a-90b-9c=999a-9(100a+10b+c)=37*27a-37*9n=37(27a-9n) abc-cab=90a+9b-99c abc-cba=99(a-c) 由上述各式中可看出abc-bca=37(27a-9n)，故: bca=abc-37(27a-9n)=37n-37(2...全部

  设三位数abc能被37整除(a、b、c为0-9的中的数字，且a≠0)，即100a+10b+c=37n，(n为自然数)，则由同样数字组成的三位数有：acb、bac、bca、cab、cba,它们与abc的差分别为： abc-acb=9b-9c=9(b-c) abc-bac=90(a-b) abc-bca=99a-90b-9c=999a-9(100a+10b+c)=37*27a-37*9n=37(27a-9n) abc-cab=90a+9b-99c abc-cba=99(a-c) 由上述各式中可看出abc-bca=37(27a-9n)，故: bca=abc-37(27a-9n)=37n-37(27a-9n)=37(10n-27a) 因n、a为整数，则10n-27a为整数，故bca能被37整除，当b≠0时，bca即为所找的三位数。
   当b=0时，bca不是三位数，但能被37整除，按上述同样推理方法，可由bca推得cab也能被37整除，而显然b、c不可同时为0，故cab即为所找的三位数。 故必有另一个同样数字组成的三位数也能被37整除。
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