解有关一元二次方程的问题

一道数学难题

解：x^3sinθ-(sinθ+2)x²+6x-4=0 (只有sinθ特殊，故考虑x=1，发现恰为该方程的根) x^3sinθ-(sinθ+2)x²+6x-4 =x²sinθ(x-1)-2(x-1)(x-2) =(x-1)(x²sinθ-2x+4) 依题意知x²sinθ-2x+4=0有两个正实根，故由韦达定理得 x1+x2=2/sinθ＞0,x1x2=4/sinθ＞0且△=(-2)²-4×sinθ×4≥0， 解得sinθ＞0且sinθ≤1/4，即0＜sinθ≤1/4 u=(9sin²θ-4sinθ+3)/[(1-cosθ...全部

  解：x^3sinθ-(sinθ+2)x²+6x-4=0 (只有sinθ特殊，故考虑x=1，发现恰为该方程的根) x^3sinθ-(sinθ+2)x²+6x-4 =x²sinθ(x-1)-2(x-1)(x-2) =(x-1)(x²sinθ-2x+4) 依题意知x²sinθ-2x+4=0有两个正实根，故由韦达定理得 x1+x2=2/sinθ＞0,x1x2=4/sinθ＞0且△=(-2)²-4×sinθ×4≥0， 解得sinθ＞0且sinθ≤1/4，即0＜sinθ≤1/4 u=(9sin²θ-4sinθ+3)/[(1-cosθ)(2cosθ+2-6sinθ-6cosθsinθ)] =(9sin²θ-4sinθ+3)/{2(1-cosθ)[(cosθ+1)-3sinθ(1+cosθ)} =(9sin²θ-4sinθ+3)/[2(1-cosθ)(1+cosθ)(1-3sinθ)] =(9sin²θ-4sinθ+3)/[2sin²θ(1-3sinθ)] 令f(θ)=sin²θ(1-3sinθ)，则 f`(θ)=2sinθ-9sin²θ=-9sinθ(sinθ-2/9)， 当0＜sinθ＜2/9时，f`(θ)＞0；当sinθ＞2/9时，f`(θ)＜0 故满足sinθ=2/9的θ是f(θ)的极大值点，也是最大值点。
   u=(9sin²θ-4sinθ+3)/[2sin²θ(1-3sinθ)] =[9(sinθ-2/9)²+23/9]/[2f(θ)] ≥(23/9)/{2(2/9)²[1-3(2/9)]} =621/8。
  收起