几道近世代数题1、证明二项式定理
1。用归纳法,显然。
2。ⅰ)若p为质数,则p阶有限群为交换群。
所以2,3,5阶有限群为交换群。
ⅱ)若4阶有限群有4次元,则为交换群。
ⅲ)若4阶有限群G无4次元,则
G={e,a,b,c},其中e为单位元,a^2=b^2=c^2=e
==》ab≠e,a,b
==>ab=c
同理,ba=c=ab
同理ac=ca=b,bc=cb=a
==》G为交换群。
==》一个有限非交换群至少有六个元。
3。题应为:证明一个有限群与一个置换群的子群同构。
证:
ⅰ)G为n阶有限群,则n次置换群Sn同构G的一一变换群,
所以记G的一一变换群为n次置换群Sn。
ⅱ)定义f为G到Sn的映射,
f(a...全部
1。用归纳法,显然。
2。ⅰ)若p为质数,则p阶有限群为交换群。
所以2,3,5阶有限群为交换群。
ⅱ)若4阶有限群有4次元,则为交换群。
ⅲ)若4阶有限群G无4次元,则
G={e,a,b,c},其中e为单位元,a^2=b^2=c^2=e
==》ab≠e,a,b
==>ab=c
同理,ba=c=ab
同理ac=ca=b,bc=cb=a
==》G为交换群。
==》一个有限非交换群至少有六个元。
3。题应为:证明一个有限群与一个置换群的子群同构。
证:
ⅰ)G为n阶有限群,则n次置换群Sn同构G的一一变换群,
所以记G的一一变换群为n次置换群Sn。
ⅱ)定义f为G到Sn的映射,
f(a)(x)=ax。
ⅲ)1)显然f(a)是G的一一变换。
2)e为G的单位元,f(e)(x)=ex=x。
==》f(e)为Sn的单位元。
3)f(ab)(x)=abx=abx=f(a)(bx)=
=f(a)(f(b)(x))=[f(a)f(b)](x)
==>f(ab)=f(a)f(b)
==>f为G到Sn的群的映射。
4)f(a)为Sn的单位元。
==》f(a)(e)=e=ae=a
==》f为G到Sn的单射,所以
G与一个置换群Sn的子群同构。收起