高中数学竞赛题—椭圆

椭圆已知椭圆的中心在坐标原点，两条准线方程为y=±√3,离心率为√3/3.（1）求椭圆的方程。（2）若椭圆上存在不同两点关于直线y=x+m对称，求m的取值范围

已知椭圆的中心在坐标原点，两条准线方程为y=±√3,离心率为√3/3。（1）求椭圆的方程。 （2）若椭圆上存在不同两点关于直线y=x+m对称，求m的取值范围 （1）e=c/a=√3/3 　　 a²/c=√3 = a/e--->a=1,c=√3/3--->b²=a²-c²=2/3 --->椭圆的方程: y²+x²/(2/3)=1，即：2y²+3x²=2 （2）设椭圆上关于y=x+m对称的两点为A(xA,yA),B(xB,yB)，xA≠xB --->k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=-1 -------...全部

  已知椭圆的中心在坐标原点，两条准线方程为y=±√3,离心率为√3/3。（1）求椭圆的方程。
  （2）若椭圆上存在不同两点关于直线y=x+m对称，求m的取值范围 （1）e=c/a=√3/3 　　 a²/c=√3 = a/e--->a=1,c=√3/3--->b²=a²-c²=2/3 --->椭圆的方程: y²+x²/(2/3)=1，即：2y²+3x²=2 （2）设椭圆上关于y=x+m对称的两点为A(xA,yA),B(xB,yB)，xA≠xB --->k(AB)=(yA-yB)/(xA-xB)=-1 --------------->yA-yB=-(xA-xB) 　　AB中点坐标满足：(yA+yB)/2=(xA+xB)/2+m--->yA+yB=xA+xB+2m 又：2yA²+3xA²=2, 2yB²+3xB²=2 两式相减：2(yA+yB)(yA-yB)+3(xA+xB)(xA-xB)=0 --->-2(xA+xB+2m)(xA-xB)+3(xA+xB)(xA-xB)=0 --->xA+xB=4m--->yA+yB=6m --->AB中点M(2m,3m)在线段y=3x/2上(椭圆内部分) 与椭圆方程联立：2(3x/2)²+3x²=2--->x²=4/15--->y²=3/5 线段y=3x/2的两个端点为(±2√15/15，±√15/5) --->-√15/15＜m=y-x＜√15/15。收起