已知 X+1Y=Y+1
好想你的题目没有叙述清楚，那个 "X不等于Y不等于Z" 是什么意思？是说 X!=Y, Y!=Z 还是说 X!=Y, Y!=Z, Z!=X？应该是后一个吧，我好像已经做出来一个答案。你看看
X+1/Y = Y+1/Z = Z+1/X = k
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XY+1 = kY
YZ+1 = kZ
ZX+1 = kX
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X = 1/(k-Z) 。 。。 (1)
Y = 1/(k-X) 。。。 (2)
Z = 1/(k-Y) 。。。 (3)
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将(2)代入(3)
Z = 1/[k-(1/(k-X)] 。。。 (4)
将(4)代入(1), ...全部
好想你的题目没有叙述清楚，那个 "X不等于Y不等于Z" 是什么意思？是说 X!=Y, Y!=Z 还是说 X!=Y, Y!=Z, Z!=X？应该是后一个吧，我好像已经做出来一个答案。你看看
X+1/Y = Y+1/Z = Z+1/X = k
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XY+1 = kY
YZ+1 = kZ
ZX+1 = kX
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X = 1/(k-Z) 。
。。 (1)
Y = 1/(k-X) 。。。 (2)
Z = 1/(k-Y) 。。。 (3)
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将(2)代入(3)
Z = 1/[k-(1/(k-X)] 。。。
(4)
将(4)代入(1), 于是得到X是关于u的方程
u = 1/{k-1/[k-1/(k-u)]} 。。。 (5)
的解, 同样Y,Z也是方程(5)的解, 即X,Y,Z是方程(5)的三个根,
方程(5)整理为
(k^2-1)(u^2-ku+1)=0 。
。。 (6)
若k^2-1!=0, 则X,Y,Z是方程
u^2-ku+1=0
的三个不同的根, 这是不可能的。 因此只有
k^2-1=0
即 k=-1或1, 于是有
X = 1/(1-Z), Y = 1/(1-X), Z = 1/(1-Y) 。
。。 (7)
或
X = -1/(1+Z), Y = -1/(1+X), Z = -1/(1+Y) 。。。
(8)
对于(7), 有
1-X = 1-1/(1-Z) --> 1/Y = (1-Z-1)/(1-Z)
--> 1/Y = -Z/(1-Z) = -ZX
--> XYZ = -1 --> (XYZ)^2 = 1
对于(8), 有
1+X = 1-1/(1+Z) --> -1/Y = (1+Z-1)/(1+Z)
--> -1/Y = Z/(1+Z) --> 1/Y = ZX
--> XYZ = 1 --> (XYZ)^2 = 1
即
(XYZ)^2 = 1
。收起
