一个线性代数证明题谢谢设A为n阶
命题1。A为n阶方阵，则
A可逆《==》r(A)=n《==》Ax=0有非零解
命题2。A为n阶方阵，则
A可逆《==》A*可逆
命题3。A，B为n阶方阵，AB=0
则r(A)+r(B)≤n,
证明充分性：
1。 因为 b是A*x=0的解，即A*x=0有非零解（命题1。）
==》A*不可逆
==>r(A*)r(A)r(A)=n-1 (这是r(A)的定义）
3。A*A=∣A∣E=0==》
r(A*)+r(A)≤n,
==》r(A*)≤1，而A*≠0（A11≠0 ）
==》r(A*)=1。
4。0=A*A=(A*a1,A*a2,……，A*an)
==》A*a1=A*a2=……=A*an=0...全部
命题1。A为n阶方阵，则
A可逆《==》r(A)=n《==》Ax=0有非零解
命题2。A为n阶方阵，则
A可逆《==》A*可逆
命题3。A，B为n阶方阵，AB=0
则r(A)+r(B)≤n,
证明充分性：
1。
因为 b是A*x=0的解，即A*x=0有非零解（命题1。）
==》A*不可逆
==>r(A*)r(A)r(A)=n-1 (这是r(A)的定义）
3。A*A=∣A∣E=0==》
r(A*)+r(A)≤n,
==》r(A*)≤1，而A*≠0（A11≠0 ）
==》r(A*)=1。
4。0=A*A=(A*a1,A*a2,……，A*an)
==》A*a1=A*a2=……=A*an=0
又因为A11≠0，
==》R（a2,……，an）=n-1(这是r(a2,……，an)的定义）
所以a2,……an线性无关。
==》又因为A*x=0的解空间的维数=
=n-r(A*)=n-1
==》a2,……an是方程组A*x=0的基础解系
==》b=λ2a2+……+λnan=
=(a1,a2,……，an)（0，λ2，……，λn）^t=
=A（0，λ2，……，λn）^t
5。
又r(A)=n－1==》Ax=0有无穷多解
==》Ax=b有无穷多解。
而必要条件显然。
。收起
