在正方形ABCD内取一点P,求角APB大于120度的概率

还是“概率中的趣味数学”

有个前提假设就是每点落在各个地方的几率是一样的。这样的话，概率就是面积比。 满足题意的面积是以原正方形的中心为对称中心的一块区域，是由四段抛物线围成的。 以正方形中心为原点建立坐标轴，x轴和y轴都平行于正方形的边。 假设正方形边长为2，由x=1,x=-1,y=1,y=-1四条线围成。 一点(x,y)到原点的距离是√(x^2+y^2) 它离右边的距离是1-x 所以有√(x^2+y^2)<1-x 整理之后有y^2<1-2x。 就是抛物线y^2=1-2x左边的部分。当然，这需要该点离x=1这一边最近。即y=x,y=-x,和y^2=1-2x这三条曲线围城的区域。由对称性得知，满足题意的区域是...全部

  有个前提假设就是每点落在各个地方的几率是一样的。这样的话，概率就是面积比。 满足题意的面积是以原正方形的中心为对称中心的一块区域，是由四段抛物线围成的。 以正方形中心为原点建立坐标轴，x轴和y轴都平行于正方形的边。
  假设正方形边长为2，由x=1,x=-1,y=1,y=-1四条线围成。 一点(x,y)到原点的距离是√(x^2+y^2) 它离右边的距离是1-x 所以有√(x^2+y^2)<1-x 整理之后有y^2<1-2x。
   就是抛物线y^2=1-2x左边的部分。当然，这需要该点离x=1这一边最近。即y=x,y=-x,和y^2=1-2x这三条曲线围城的区域。由对称性得知，满足题意的区域是该区域的四倍，只要求出该区域面积乘以4即可。
  该区域可以通过对曲线积分求得。 面积为(4√2-5)/3。 所以整个满足题意区域面积为(4√2-5)/3×4 而整个正方形面积为4 所以两面积之比为(4√2-5)/3 满足题意的面积是以原正方形的中心为对称中心的一块区域，是由四段抛物线围成的，其面积是原来正方形面积的(4√2-5)/3。
   因此，一点到其中心的距离比到各边中最小距离还小的概率也是(4√2-5)/3，大约是0。219。 详细解答见如下图片： 。收起