一道数学题已知抛物线y=ax&s
已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点。
（1）求这条抛物线的关系式；
已知顶点为(4,-1)，则可以设抛物线为：y=a(x-4)^2-1
它与y轴的交点C(0,3)，即x=0时，y=3
===> 16a-1=3
===> 16a=4
===> a=1/4
即，y=(1/4)(x-4)^2-1=(1/4)x^2-2x+3
（2）设此抛物线与x轴的交点为A,B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使得O,B,P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
y=(1/4)x^2-2x+3=(...全部
已知抛物线y=ax²+bx+c的顶点坐标为（4，-1），与y轴交于点C（0，3），O是原点。
（1）求这条抛物线的关系式；
已知顶点为(4,-1)，则可以设抛物线为：y=a(x-4)^2-1
它与y轴的交点C(0,3)，即x=0时，y=3
===> 16a-1=3
===> 16a=4
===> a=1/4
即，y=(1/4)(x-4)^2-1=(1/4)x^2-2x+3
（2）设此抛物线与x轴的交点为A,B（A在B的左边），问在y轴上是否存在点P，使得O,B,P为顶点的三角形与△AOC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
y=(1/4)x^2-2x+3=(1/4)*(x^2-8x+12)=0
===> (1/4)(x-2)(x-6)=0
===> x1=2，x2=6
所以，点A(2,0)，点B(6,0)
已知点C(0,3)
点P在y轴上，设点P(0,p)
△POB是以∠POB为直角的直角三角形，△AOC是以∠AOC为直角的直角三角形
所以，当Rt△POB∽Rt△AOC时，就有：
①PO/CO=BO/AO
===> |p|/3=6/2
===> |p|=9
===> p=±9
即，点P(0,9)，或者P(0，-9)
②PO/AO=BO/CO
===> |a|/2=6/3
===> |a|=4
===> a=±4
即，点P(0,4)，或者P(0，-4)
所以，存在上述四个点P，使得△POB∽△AOC。
收起
