一道不定积分题
∫(1/cos^3 θ)dθ
=∫(cosθ/cos^4 θ)dθ
=∫(1/cos^4 θ)d(sinθ)
=∫[1/(1-sin^2 θ)^2]d(sinθ)
令sinθ=t
=∫[1/(1-t^2)^2]dt
=∫[1/(1-t)^2*(1+t)^2]dt
=∫(1/4t)*[1/(1-t)^2-1/(1+t)^2]dt
=(1/4){∫[1/t(1-t)^2]dt-∫[1/t(1+t)^2]dt}
上式中:
对于∫[1/t(1-t)^2]dt
令:1/t(1-t)^2=(A/t)+[B/(1-t)]+[C/(1-t)^2]
=[A(1-t)^2+Bt(1-t)+Ct]/[t(1-t...全部
∫(1/cos^3 θ)dθ
=∫(cosθ/cos^4 θ)dθ
=∫(1/cos^4 θ)d(sinθ)
=∫[1/(1-sin^2 θ)^2]d(sinθ)
令sinθ=t
=∫[1/(1-t^2)^2]dt
=∫[1/(1-t)^2*(1+t)^2]dt
=∫(1/4t)*[1/(1-t)^2-1/(1+t)^2]dt
=(1/4){∫[1/t(1-t)^2]dt-∫[1/t(1+t)^2]dt}
上式中:
对于∫[1/t(1-t)^2]dt
令:1/t(1-t)^2=(A/t)+[B/(1-t)]+[C/(1-t)^2]
=[A(1-t)^2+Bt(1-t)+Ct]/[t(1-t)^2]
=[At^2-2At+A+Bt-Bt^2+Ct]/[t(1-t)^2]
=[(A-B)t^2+(-2A+B+C)t+A]/[t(1-t)^2]
则:
A-B=0
-2A+B+C=0
A=1
所以:A=1,B=1,C=1
即:1/t(1-t)^2=(1/t)+[1/(1-t)]+[1/(1-t)^2]
所以,∫[1/t(1-t)^2]dt=∫[(1/t)+1/(1-t)+1/(1-t)^2]dt
=∫(1/t)dt+∫[1/(1-t)]dt+∫[1/(1-t)^2]dt
=ln|t|-ln|1-t|-[1/(1-t)]+C1
同样的道理,也可以对∫[1/t(1+t)^2]dt进行类似求解
得到:∫[1/t(1+t)^2]dt=ln|t|-ln|1+t|+[1/(1+t)]+C2
所以:
∫[1/(1-t^2)^2]dt
=(1/4){∫[1/t(1-t)^2]dt-∫[1/t(1+t)^2]dt}
=(1/4){ln|t|-ln|1-t|-[1/(1-t)]-ln|t|+ln|1+t|-[1/(1+t)]}+C
=(1/4){ln|1+t|-ln|1-t|-[1/(1-t)]-[1/(1+t)]}+C
=(1/4){ln|(1+t)/(1-t)|-2/(1-t^2)}+C
将t=sinθ代入得到:
∫(1/cos^3 θ)dθ=(1/4){ln|(1+sinθ)/(1-sinθ)|-2/(1-sin^2 θ)}+C
=(1/4)*[ln|(1+sinθ)/(1-sinθ)|-2sec^2 θ]+C。
收起