若3(a^2+b^2)=4c^2,证明直线ax+by+c=0恒与圆x^2+y^2=1相交,求出弦长

解析几何设直线l：x=7根号3/

设直线l：x=7(√3)/6, 定点A(√3,0),动点P到直线l的距离为d, 且|PA|/d = (√3)/2 。 (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过原点 且倾斜角为a(a不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的 面积S(a)；(3)求S(a)的最大值。 (1) 设 P(x,y)， 则 d = |x - 7(√3)/6| , |PA| = √[(x-√3)²+y²] 由条件得 √[(x-√3)²+y²] / |x - 7(√3)/6|= (√3)/2 即 2 * √[(x-√3)²+y²] = (√3) ...全部

  设直线l：x=7(√3)/6, 定点A(√3,0),动点P到直线l的距离为d, 且|PA|/d = (√3)/2 。 (1)求动点P的轨迹C的方程；(2)若过原点 且倾斜角为a(a不为0)的直线与曲线C交于M,N两点,求三角形AMN的 面积S(a)；(3)求S(a)的最大值。
   (1) 设 P(x,y)， 则 d = |x - 7(√3)/6| , |PA| = √[(x-√3)²+y²] 由条件得 √[(x-√3)²+y²] / |x - 7(√3)/6|= (√3)/2 即 2 * √[(x-√3)²+y²] = (√3) * |x - 7(√3)/6| 两边平方，得 4x² - 8(√3)x + 12 + 4y² = 3x² - 7(√3)x + 49/4 整理得 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0 即 4[x - (√3)/2]² + 16y² = 2 即 C： [x - (√3)/2]²/(1/2) + y²/(1/8) = 1 (2) 先设直线MN的斜率为k，记 1/k = n 则直线MN的方程为 y = kx， 即 x = ny 代入 4x² + 16y² - 4(√3)x - 1 = 0 得 (4n²+16)y² - 4(√3)ny - 1 = 0 y1 + y2 = (√3)n/(n²+4) ， y1 * y2 = -/(4n²+16) |y1 - y2| = √[(y1 + y2)² - 4 * y1 * y2] 　　　　　= √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)] S(A) = (1/2) * |OA| * (|y1| + |y2|) 　　 = (1/2) * |OA| * |y1 - y2| 　　 = [(√3)/2] * √[3n²/(n²+4)² + 1/(n²+4)] 　　 = (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 4)²] 　　 = (√3) * √[(n² + 1)/(n² + 1 + 3)²] 　　 = (√3) / √[(n² + 1) + 9/(n² + 1) + 6] 　　 = (√3) / √[(tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) + 6] (3) 由基本不等式　(tan²a + 1) + 9/(tan²a + 1) ≥ 6 所以　S(a) ≤ (√3) / √(6+6) = 1/2 即　S(a) 的最大值为 1/2 。
  收起