单摆的两道证明题请从理论上证明1
既然要从理论上分析,那么就一步一步来。
1、相关公式的推导
假设有一个质量为m的质点以ω的角速度沿半径为R的圆作匀速圆周运动,则该质点受到的合外力为指向圆心的向心力,大小为F=mR(ω^2)。 以圆心O为原点建立平面直角坐标系(也就是把向心力正交分解)。设质点转过的角度(质点与原点的连线同x轴的夹角)为φ,则向心力在x轴方向上的分量Fx为
Fx=-Fcosφ=-mR(ω^2)*(x/R)=-m(ω^2)x。
对于系统而言,m、ω均为定值,故可认为k=m(ω^2),则Fx=-kx。同理可证Fy=-ky。
所以,做匀速圆周运动的质点在x、y两个方向(互相垂直的两个方向)上都在做简谐运动,...全部
既然要从理论上分析,那么就一步一步来。
1、相关公式的推导
假设有一个质量为m的质点以ω的角速度沿半径为R的圆作匀速圆周运动,则该质点受到的合外力为指向圆心的向心力,大小为F=mR(ω^2)。
以圆心O为原点建立平面直角坐标系(也就是把向心力正交分解)。设质点转过的角度(质点与原点的连线同x轴的夹角)为φ,则向心力在x轴方向上的分量Fx为
Fx=-Fcosφ=-mR(ω^2)*(x/R)=-m(ω^2)x。
对于系统而言,m、ω均为定值,故可认为k=m(ω^2),则Fx=-kx。同理可证Fy=-ky。
所以,做匀速圆周运动的质点在x、y两个方向(互相垂直的两个方向)上都在做简谐运动,其中k=m(ω^2)。
由此式可得:
一般地,简谐运动的角速度(圆频率)ω=根号(k/m)。
2、单摆的回复力
摆球的摆动轨迹是一个圆弧。设摆角(摆球偏离竖直方向的角度)为θ,则摆球的重力mg沿此圆弧的切线方向的分力为mgsinθ。
设摆球偏离平衡位置的位移为x、摆长为l,则当摆角很小时,可以认为sinθ=x/l。所以,单摆的回复力为F=-mgx/l。
对于系统而言,m、g、l均为定值,故可认为k=mg/l,则F=-kx。
因此在单摆很小的情况下,单摆做简谐运动。
将k=mg/l代入ω=根号(k/m)可得ω=根号(g/l)。由T=2π/ω可得单摆周期公式
T=2π*根号(l/g)。
由此公式可知,单摆的周期与振幅无关(摆角很小时),周期与摆长的平方根成正比。
(不会用电脑绘图,抱歉)。收起