如何证明周长一定的简单闭曲线集合
可用变分法证明,方法如下:
1。设简单闭曲线Γ围的区域为区域D。
设周长=L,用大学数学(如:高数)曲线积分的知识得,
区域D的面积
S=∫{Γ}[xdy-ydx]/2
2。 以Γ的弧长s为参数得,
S=∫{0→L}[(xy'-yx')ds]/2,
另外以Γ的弧长s为参数有,
(y')^2+(x')^2=1
3。根据变分法解决,在(y')^2+(x')^2=1
的条件下,
求S=∫{0→L}[(xy'-yx')ds]/2的极值的问题。
方法如下:
ⅰ。设F(s,x,x',y,y')=
xy'-yx'+λ(s)[(y')^2+(x')^2-1]
ⅱ。求F对x,x',y,y'的偏导得
F...全部
可用变分法证明,方法如下:
1。设简单闭曲线Γ围的区域为区域D。
设周长=L,用大学数学(如:高数)曲线积分的知识得,
区域D的面积
S=∫{Γ}[xdy-ydx]/2
2。
以Γ的弧长s为参数得,
S=∫{0→L}[(xy'-yx')ds]/2,
另外以Γ的弧长s为参数有,
(y')^2+(x')^2=1
3。根据变分法解决,在(y')^2+(x')^2=1
的条件下,
求S=∫{0→L}[(xy'-yx')ds]/2的极值的问题。
方法如下:
ⅰ。设F(s,x,x',y,y')=
xy'-yx'+λ(s)[(y')^2+(x')^2-1]
ⅱ。求F对x,x',y,y'的偏导得
F2'(s,x,x',y,y')=y'
F3'(s,x,x',y,y')=-y+2λ(s)(x')
F4'(s,x,x',y,y')=-x'
F5'(s,x,x',y,y')=x+2λ(s)(y')
ⅲ。
解下面方程组：
F2'(s,x,x',y,y')=［F3'(s,x,x',y,y')］’
F４'(s,x,x',y,y')=［F５'(s,x,x',y,y')］’
即
y'=-y’+2λ'(s)(x')+2λ(s)(x”) （a）
-x'=x’+2λ'(s)(y')+2λ(s)(y”) （b）
x’*（a）+y’*（b）==》
λ'(s)[(y')^2+(x')^2]+λ(s)[y'y”+x'x”]=0=
=λ'(s)[(y')^2+(x')^2]+λ(s))[(y')^2+(x')^2]’/2=
=λ'(s)，其中))(y')^2+(x')^2=1
==》λ(s)=C
代入（a），（b）得
y'=Cx” （c）
-x'=Cy” （d）
ⅳ。
解（c）, （d）和(y')^2+(x')^2=1方程组得:
x'=Acos(s+φ),y'=Asin(s+φ),
==>Γ为圆。
。收起
