证明题
(这是一道美国数学奥林匹克试题,证法非常多,其中最简洁的是陈计老师的证法,也就是一楼和四楼从网上抄的方法,其他还有作差法、三角代换法、判别式法等等)
下面用抽屉原理证明:
由抽屉原理,不妨设a、b同时大于等于1,或同时小于等于1。
则c^2(a^2-1)(b^2-1)≥0
→a^2b^2c^2+c^2≥a^2c^2+b^2c^2……①
由均值不等式有
∑a^2b^2+3≥2∑ab……②
另,∑a^2≥∑ab……③
由②×2+③×3,可得
2∑a^2b^2+3∑a^2+6≥7∑ab……④
而依①知
2+a^2b^2c^2+∑a^2
≥a^2+b^2+a^2c
^2+b^2c^2+2
=(a^2+b^2)+(a^2c^2+1)+(b^2c^2+1)
≥2ab+2ac+2bc……⑤
由④+⑤得
a^2b^2c^2+2∑a^2b^2+4∑a^2+8≥9∑ab
即(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2)≥9(ab+bc+ca)。
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问一下 你几年级
证明: ∵(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0, ∴(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2] 由Cauchy不等式知 (a^2+2)[1+(b+c)^2/2]≥(a+b+c)^2. ∴(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2 ≥9(ab+bc+ca).
证明: ∵(b-c)^2+2(bc-1)^2≥0, ∴(b^2+2)(c^2+2)≥3[1+(b+c)^2/2] 由Cauchy不等式知 (a^2+2)[1+(b+c)^2/2]≥(a+b+c)^2. ∴(a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) ≥3(a+b+c)^2 ≥9(ab+bc+ca).
楼上两位的证明怎么会一个字不差?