求函数y=(3-sinx)/(2 cosx)的值域
这个题目方法很多,我给出代数的解答 y=(3-sinx)/(2+cosx) (2+cosx)*y=3-sinx ycosx+sinx=3-2y 根号(y^2+1)sin(x+t)=3-2y sin(x+t)=|(3-2y)/根号(y^2+1)|<=1 (3-2y)^2<=y^2+1 2+(-2/根号3)<=y<=2+2/根号3
用三角函数的“万能代换”:sinx=2t/(1+t^2);cosx=(1-t^2)/(1+t^2)
【这里t=tan(x/2),实际上就是二倍角的“万能公式”】
代入并化简后,函数成为:
y=[3-2t/(1+t^2)]/[2+(1-t^2)/(1+t^2)]
=(3t^2-2t+3)/(t^2+3)
使用反函数法,去分母并整理得:
(y-3)y^2+2t+3(y-1)=0……(*)
1)当y=3时:(*)成为2t+2=0>t=-1。
对应的自变量存在。
2)当y<>3时(*)的△=4-12(y-3)(y-1)=-4(3y^2-12y+8
由△>=
0解得:2-2/3*3^。5=3)。
由这两种情况可以得到函数的值域是闭区间:[2-2/3^。5,2+2/3^。5]
。
[展开]
Y小于等于2,大于等于1