数学问题过点P(1
目标函数为 u=OA+OB=(OM+MA)+(ON+NB)=(1+4cotθ)+(4+tanθ)=5+4cotθ+tanθ。 因为(cotθ)*(tanθ)=1，所以由均值定理可知当tanθ=2时，u有最小值。 得到直线斜率为 k=-tanθ=-2，故所求直线方程是 2x+y-6=0。
设直线为x/a+y/b=1,
它过(1,4),即有1/a+4/b=1。
故由柯西不等式得
a+b=1*(a+b)
=(a+b)(1/a+4/b)>=(1+2)^2,
故(a+b)|min=9。
此时有且只有
{a+b=9, (1)
{a:1/a=b:4/b, (2)
解得a=3,b=6。
因此,所求方程为x/3+y/6=1,
两边剩6移项得所求直线为2x+3y-6=0。
设x轴上的截距为a,y轴上的截距为b(a>0,b>0)
该直线方程是x/a+y/b=1
又直线过点(1,4)
所以1/a+4/b=1
所以a+b=a×1+b×1
=a(1/a+4/b)+b(1/a+4/b)
=5+4a/b+b/a
≥5+2√[(4a/b)(b/a)]
=9
当且仅当4a/b=b/a,即2a=b取等号
又1/a+4/b=1
所以a=3,b=6
所以直线方程是x/3+y/6=1,即2x+y-6=0。