已知函数f（x）=x^2+mx+n的图像过点（1，3），
1。f(x)=x^2+mx+n,
①函数f(x)=x^2+mx+n的图像过点(1，3)，则3=1+m+n；
②f(-1+x)=f(-1-x)，(-1+x)^2+m(-1+x)+n=(-1-x)^2+m(-1-x)+n,则(m-2)x=0，所以必有m=2,于是n=0。
所以f(x)=x^2+2x。
函数y=g(x)与y=f(x)的图像关于原点对称：g(x)=-f(-x)=-x^2+2x。
2。F(x)=g(x)-λf(x)=-(1+λ)x^2+2(1-λ)x。
①当λ=-1时，F(x)显然在[-1,1]上是增函数。 &nb
sp;
②当λ≠-1时，只要F(x)图像的顶点不在(-1,1)内。F(x)(-1,1)内增减性确定。
所以 |(1-λ)/(1+λ)|≥1，(1-λ)^2≥(1+λ)^2，λ≤0。
由F(-1)＜F(1)，即 -(1+λ)-2(1-λ)＜-(1+λ)+2(1-λ)，得λ＜1。
【结论】若F(x)=g(x)-λf(x)在[-1,1]上是增函数，实数λ的取值范围 {λ=-1}∪{λ≤0}∩{λ＜1} = {λ≤0}。
。
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已知函数f（x）=x^2+mx+n的图像过点（1，3），且f（-1+x）=f（-1-x）对任意实数都成立，函数y=g（x）与y=f（x）的图像关于原点对称。
f（-1+x）=f（-1-x），f（1）=3
问题：
1。
f（x）与g（x）的解析式
因为f(x)经过点(1,3)，则：f(1)=1+m+n=3
所以：m+n=2……………………………………………………（1）
又，f(-1+x)=f(-1-x)，则说明函数f(x)的图像关于x=-1对称，亦即x=-1为二次函数的对称轴
所以：-m/2=-1…………………………………………………（2）
联立(1)(2)得到：
m=2
n=0
则，函数
f(x)=x^2+2x
又，g(x)与f(x)关于原点对称，即f(x)上的点(x,y)关于原点的对称点(-x,-y)在g(x)上，所以：-y=(-x)^2+2*(-x)=x^2-2x
所以：g(x)=y=-x^2+2x
2。
若F（x）=g（x）-λf（x）在[-1,1]上是增函数，求实数λ的取值范围
F(x)=g(x)-λf(x)=-x^2+2x-λ(x^2+2x)=-x^2+2x-λx^2-2λx
=-(λ+1)x^2+2(1-λ)x
①当λ=-1时，F(x)=4x，它表示的是一次函数，且k=4＞0
所以，在[-1,1]上F(x)是增函数………………………………（1）
②当λ＞-1时，F(x)为二次函数，且-(λ+1)＜0，开口向下
那么，对称轴x=(1-λ)/(1+λ)≥1
解得：-1≤λ≤0
所以，-1＜λ≤0…………………………………………………（2）
③当λ＜-1时，F(x)为二次函数，且-(λ+1)＞0，开口向上
那么，对称轴x=(1-λ)/(1+λ)≤-1
解得：λ≥-1
此时无解
综上：-1≤λ≤0。
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