在△ABC中,试证:
(sinA)^2+(sinB)^2+(sinC)^2≤[cos(A/2)]^2+[cos(B/2)]^2+[cos(C/2)]^2
证明
X=2[cos(A/2)]^2-(sinB)^2-(sinC)^2
=cosA+1-[1-cos(2B)+1-cos(2C)]/2
=cosA+coa(B+C)*cos(B-C)
=cosA*[1-cos(B-C)]。
Y=2[cos(B/2)]^2-(sinC)^2-(sinA)^2=cosB*[1-cos(C-A)]
Z=2[cos(C/2)]^2-(sinA)^2-(sinB)^2=cosC*[1-cos
(A-B)]
显然△ABC为锐角三角形时成立。
下面仅需证钝角三角形情况,
不妨设A>B>C,易证:Z>0,Y>0。
而
cosB+cosA>0,
cos(B-C)>cos(C-A) ,
1-cos(C-A)>1-cos(B-C)。
由此即得:x+y>0,
从而得 x+y+z>0。
不等式得证。
。
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