三角不等式

三角不等式问题在任意ΔABC中，

证明 由3倍角公式 cos3A=4(cosA)^3 -3cosA (cosA)^3=(3cosA+cos3A)/4 sin3A=3sinA-4(sinA)^3=sinA*[3-4(sinA)^2] 及三角恒等式: cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2) cos3A+cos3B+cos3C=1-4sin(3A/2)*sin(3B/2)*sin(3C/2) 4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/R 所以(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3 =3(cosA+cosB+cosC)/4+(cos3A+cos3B+...全部

  证明 由3倍角公式 cos3A=4(cosA)^3 -3cosA (cosA)^3=(3cosA+cos3A)/4 sin3A=3sinA-4(sinA)^3=sinA*[3-4(sinA)^2] 及三角恒等式: cosA+cosB+cosC=1+4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2) cos3A+cos3B+cos3C=1-4sin(3A/2)*sin(3B/2)*sin(3C/2) 4sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)=r/R 所以(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3 =3(cosA+cosB+cosC)/4+(cos3A+cos3B+cos3C)/4 =1+3sin(A/2)*sin(B/2)*sin(C/2)-sin(3A/2)*sin(3B/2)*sin(3C/2) =1-5∏sin(A/2)+[∏sin(A/2)]*{8-∏{3-4[sin(A/2)]^2} =1-5∏sin(A/2)+[∏sin(A/2)]*{8-∏{4[cos(A/2)]^2-1} 易证 1-5∏sin(A/2)≥3/8; 8-∏{4[cos(A/2)]^2-1}≥0 所以(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3≥3/8。
   下面给出更一般的结论 在任意ΔABC中，A,B,C表示其三内角，n∈N，n≥1,则 (cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)≥3/2^(2n+1)。
  (1) 首先给出两个引理: 引理1 己知x≥0,y≥0，对任意正整数n总有 x^n+(n-1)y^n≥nx*y^(n-1) (2) (2)式等价于,此时y>0 x^n/y^(n-1)≥nx-(n-1)y (3) 引理2 在任意ΔABC中，有 (cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3≥3/8。
   (4) cosA+cosB+cosC)=1+r/R。 (5) 下面根据引理中不等式(3),(4),(5)来推导不等式(1)。 证明 当ΔABC为锐角三角形时 (cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1) =(1/4)^(n-1)*{cosA*[(cosA)^2]^n/(1/4)^(n-1)+cosB*[(cosB)^2]^n/(1/4)^(n-1) +cosC*[(cosC)^2]^n/(1/4)^(n-1)} ≥(1/4)^(n-1)*{cosA*[n(cosA)^2-(n-1)/4]+cosB*[n(cosB)^2-(n-1)/4]+cosC[n(cosC)^2-(n-1)/4]} =(1/4)^(n-1)*{n[(cosA)^3+(cosB)^3+(cosC)^3]-(n-1)*(cosA+cosB+cosC)/4} ≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-(n-1)*(1+r/R)/4] ≥(1/4)^(n-1)*[3n/8-3(n-1)/8]。
  用到欧拉不等式 。 =3/[8*(1/4)^(n-1)]=3/2^(2n+1) 当ΔABC为非锐角三角形时，不妨设C≥π/2，B≥A，则 π/4≥A>0，π>B+C>π/2。 所以 cosA≥√(1/2)，cosB>-cosC， (2cosA)^(2n+1)≥(√2)^(2n+1)>3， n≥2，n∈N (2cosB)^(2n+1)>(-2cosC)^(2n+1)。
   所以当n≥2，n∈N时， (2cosA)^(2n+1)+(2cosB)^(2n+1)+(2cosC)^(2n+1)>3。 即(cosA)^(2n+1)+(cosB)^(2n+1)+(cosC)^(2n+1)>3/2^(2n+1)。
   综上，不等式(1)成立，证毕。 。收起