高中数学各种求值域问题的解法
高中函数值域的12种求法!一．观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。例1求函数y=3 √(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域。 由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0,故3 √(2－3x)≥3。∴函数的值域为[3, ∞) 。点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。 练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝）二．反函数法当函数的反函...全部
高中函数值域的12种求法!一．观察法通过对函数定义域、性质的观察,结合函数的解析式,求得函数的值域。例1求函数y=3 √(2－3x) 的值域。点拨：根据算术平方根的性质,先求出√(2－3x) 的值域。
由算术平方根的性质,知√(2－3x)≥0,故3 √(2－3x)≥3。∴函数的值域为[3, ∞) 。点评：算术平方根具有双重非负性,即：（1）被开方数的非负性,（2）值的非负性。本题通过直接观察算术平方根的性质而获解,这种方法对于一类函数的值域的求法,简捷明了,不失为一种巧法。
练习：求函数y=[x](0≤x≤5)的值域。（答案：值域为：｛0,1,2,3,4,5｝）二．反函数法当函数的反函数存在时,则其反函数的定义域就是原函数的值域。例2求函数y=(x 1)/(x 2)的值域。
点拨：先求出原函数的反函数,再求出其定义域。显然函数y=(x 1)/(x 2)的反函数为:x=(1－2y)/（y－1）,其定义域为y≠1的实数,故函数y的值域为｛y∣y≠1,y∈R｝。点评：利用反函数法求原函数的定义域的前提条件是原函数存在反函数。
这种方法体现逆向思维的思想,是数学解题的重要方法之一。练习：求函数y=(10x 10-x)/(10x－10-x)的值域。（答案：函数的值域为｛y∣y1｝）三．配方法当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时,可以利用配方法求函数值域例3：求函数y=√(－x2 x 2)的值域。
点拨：将被开方数配方成完全平方数,利用二次函数的最值求。由－x2 x 2≥0,可知函数的定义域为x∈[－1,2]。此时－x2 x 2=－（x－1/2）2＋9/4∈[0,9/4]∴0≤√－x2 x 2≤3/2,函数的值域是[0,3/2]点评：求函数的值域不但要重视对应关系的应用,而且要特别注意定义域对值域的制约作用。
配方法是数学的一种重要的思想方法。练习：求函数y=2x－5＋√15－4x的值域。(答案:值域为{y∣y≤3})四．判别式法若可化为关于某变量的二次方程的分式函数或无理函数,可用判别式法求函数的值域。
例4求函数y=(2x2－2x 3)/(x2－x 1)的值域。点拨：将原函数转化为自变量的二次方程,应用二次方程根的判别式,从而确定出原函数的值域。将上式化为（y－2）x2－(y－2)x (y-3)=0 （＊）当y≠2时,由Δ=(y－2)2－4（y－2）x (y－3)≥0,解得：2＜x≤10/3当y=2时,方程(＊)无解。
∴函数的值域为2＜y≤10/3。点评：把函数关系化为二次方程F(x,y)=0,由于方程有实数解,故其判别式为非负数,可求得函数的值域。常适应于形如y=(ax2 bx c)/(dx2 ex f)及y=ax b±√(cx2 dx e)的函数。
练习：1、求函数y=1/(2x2－3x 1)的值域。（答案：值域为y≤－8或y>0）。2、求函数y=6x2-4x 3/(3x2－2x 1)的值域。（答案：值域为(2,7/2] )。五．最值法对于闭区间[a,b]上的连续函数y=f(x),可求出y=f(x)在区间[a,b]内的极值,并与边界值f(a)。
f(b)作比较,求出函数的最值,可得到函数y的值域。例5已知(2x2-x-3)/(3x2 x 1)≤0,且满足x y=1,求函数z=xy 3x的值域。点拨：根据已知条件求出自变量x的取值范围,将目标函数消元、配方,可求出函数的值域。
∵3x2 x 1＞0,上述分式不等式与不等式2x2-x-3≤0同解,解之得－1≤x≤3/2,又x y=1,将y=1-x代入z=xy 3x中,得z=-x2 4x(-1≤x≤3/2),∴z=-(x-2)2 4且x∈[-1,3/2],函数z在区间[-1,3/2]上连续,故只需比较边界的大小。
当x=-1时,z=－5；当x=3/2时,z=15/4。∴函数z的值域为｛z∣－5≤z≤15/4｝。点评：本题是将函数的值域问题转化为函数的最值。对开区间,若存在最值,也可通过求出最值而获得函数的值域。
练习：若√x为实数,则函数y=x2 3x-5的值域为 （ ）A．（－∞,＋∞） B．[－7,＋∞] C．[0,＋∞） D．[－5,＋∞）（答案：D）。六．图象法通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函数的值域。
例6求函数y=∣x 1∣ √(x-2)2 的值域。点拨：根据绝对值的意义,去掉符号后转化为分段函数,作出其图象。原函数化为 －2x 1 (x≤1)y= 3 (-12)它的图象如图所示。显然函数值y≥3,所以,函数值域[3,＋∞]。
点评：分段函数应注意函数的端点。利用函数的图象求函数的值域,体现数形结合的思想。是解决问题的重要方法。求函数值域的方法较多,还适应通过不等式法、函数的单调性、换元法等方法求函数的值域。七．单调法利用函数在给定的区间上的单调递增或单调递减求值域。
例1求函数y=4x－√1-3x(x≤1/3)的值域。点拨：由已知的函数是复合函数,即g(x)= －√1-3x,y=f(x) g(x),其定义域为x≤1/3,在此区间内分别讨论函数的增减性,从而确定函数的值域。
设f(x)=4x,g(x)= －√1-3x ,(x≤1/3),易知它们在定义域内为增函数,从而y=f(x) g(x)= 4x－√1-3x 在定义域为x≤1/3上也为增函数,而且y≤f(1/3) g(1/3)=4/3,因此,所求的函数值域为｛y|y≤4/3｝。
点评：利用单调性求函数的值域,是在函数给定的区间上,或求出函数隐含的区间,结合函数的增减性,求出其函数在区间端点的函数值,进而可确定函数的值域。练习：求函数y=3 √4-x 的值域。(答案：｛y|y≥3｝)八．换元法以新变量代替函数式中的某些量,使函数转化为以新变量为自变量的函数形式,进而求出值域。
例2求函数y=x-3 √2x 1 的值域。点拨：通过换元将原函数转化为某个变量的二次函数,利用二次函数的最值,确定原函数的值域。设t=√2x 1 （t≥0）,则x=1/2(t2-1)。于是 y=1/2(t2-1)-3 t=1/2(t 1)2-4≥1/2-4=-7/2。
所以,原函数的值域为｛y|y≥－7/2｝。点评：将无理函数或二次型的函数转化为二次函数,通过求出二次函数的最值,从而确定出原函数的值域。这种解题的方法体现换元、化归的思想方法。它的应用十分广泛。
练习：求函数y=√x-1 –x的值域。（答案：｛y|y≤－3/4｝九．构造法根据函数的结构特征,赋予几何图形,数形结合。例3求函数y=√x2 4x 5 √x2-4x 8 的值域。点拨：将原函数变形,构造平面图形,由几何知识,确定出函数的值域。
原函数变形为f(x)=√(x 2)2 1 √(2-x)2 22作一个长为4、宽为3的矩形ABCD,再切割成12个单位正方形。设HK=x,则ek=2-x,KF=2 x,AK=√(2-x)2 22 ,KC=√(x 2)2 1 。
由三角形三边关系知,AK KC≥AC=5。当A、K、C三点共线时取等号。∴原函数的知域为｛y|y≥5｝。点评：对于形如函数y=√x2 a ±√(c-x)2 b(a,b,c均为正数),均可通过构造几何图形,由几何的性质,直观明了、方便简捷。
这是数形结合思想的体现。练习：求函数y=√x2 9 √(5-x)2 4的值域。（答案：｛y|y≥5√2｝）十．比例法对于一类含条件的函数的值域的求法,可将条件转化为比例式,代入目标函数,进而求出原函数的值域。
例4已知x,y∈R,且3x-4y-5=0,求函数z=x2 y2的值域。点拨：将条件方程3x-4y-5=0转化为比例式,设置参数,代入原函数。由3x-4y-5=0变形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k为参数)∴x=3 4k,y=1 3k,∴z=x2 y2=(3 4k)2 (14 3k)2=(5k 3)2 1。
当k=－3/5时,x=3/5,y=－4/5时,zmin=1。函数的值域为｛z|z≥1｝。点评：本题是多元函数关系,一般含有约束条件,将条件转化为比例式,通过设参数,可将原函数转化为单函数的形式,这种解题方法体现诸多思想方法,具有一定的创新意识。
练习：已知x,y∈R,且满足4x-y=0,求函数f(x,y)=2x2-y的值域。（答案：｛f(x,y)|f(x,y)≥1｝）十一．利用多项式的除法例5求函数y=(3x 2)/(x 1)的值域。
点拨：将原分式函数,利用长除法转化为一个整式与一个分式之和。y=(3x 2)/(x 1)=3－1/(x 1)。∵1/(x 1)≠0,故y≠3。∴函数y的值域为y≠3的一切实数。点评：对于形如y=(ax b)/(cx d)的形式的函数均可利用这种方法。
练习：求函数y=(x2-1)/(x-1)(x≠1)的值域。（答案：y≠2）十二．不等式法例6求函数Y=3x/(3x 1)的值域。点拨：先求出原函数的反函数,根据自变量的取值范围,构造不等式。易求得原函数的反函数为y=log3[x/(1-x)],由对数函数的定义知 x/(1-x)＞01-x≠0解得,0＜x1或y。
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