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第5期有效学案参考答案 第5课时 12。3等腰三角形(1) 【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。 【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC。 【问题1】证明：∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC． ∴△AOB≌△AOC(SSS)． ∴∠OAB＝∠OAC． ∵AB＝AC，∴AO⊥BC 。 【问题2】设∠ACD＝α，则∠EDC＝α，∠A＝∠AED＝2α， ∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α． 在△ABC中，由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°， ∴α＝22。5°．∴∠A＝2α＝45°。 1．D。 2．C。 3．证明：∵AB＝AC，...全部
第5期有效学案参考答案 第5课时 12。3等腰三角形(1) 【检测1】等边对等角；顶角平分线、底边上的中线、底边上的高。 【检测2】提示：用“SAS”证明△ADB≌△ADC。 【问题1】证明：∵AB＝AC，AO＝AO，OB＝OC． ∴△AOB≌△AOC(SSS)． ∴∠OAB＝∠OAC． ∵AB＝AC，∴AO⊥BC 。
【问题2】设∠ACD＝α，则∠EDC＝α，∠A＝∠AED＝2α， ∠ACB＝∠B＝∠BDC＝∠A＋∠ACD＝3α． 在△ABC中，由内角和定理得2α＋3α＋3α＝180°， ∴α＝22。5°．∴∠A＝2α＝45°。
1．D。 2．C。 3．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵∠EAC＝∠B＋∠C，∴∠EAC＝2∠B． ∵AD平分∠EAC，∴∠EAC＝2∠EAD． ∴∠B＝∠EAD．∴AD‖BC。
4．105°。 5．解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝35°． 在△ABC中，∠BAC＝180°－35°×2＝110°． ∵点D在AC的垂直平分线上， ∴DA＝DC．∴∠DAC＝∠C＝35°． ∴∠BAD＝∠BAC－∠DAC＝110°－35°＝75°。
6．证法一：∵PA＝PB，∴∠A＝∠B． 又∵AC＝BD， ∴△PAC≌△PBD(SAS)． ∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC． 证法二：过点P作PE⊥AB于点E． ∵PA＝PB，PE⊥AB．∴AE＝BE． ∵AC＝BD．∴CE＝DE． ∴PC＝PD．∴∠PCD＝∠PDC。
7．解：设∠C＝α，则∠B＝∠CAD＝α，∠BDA＝∠BAD＝2α，于是α＋2α＋2α＝180°，解得α＝36°．故∠ADB＝72°。 8．解：此题分三种情况． (1)当底边上的高与一腰的夹角是40°时，如图①，顶角是80°，从而两个底角是50°，50°； (2)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形内部时，如图②，顶角是50°，从而两个底角是65°，65°；(3)当一腰上的高与另一腰的夹角是40°且高在三角形外部时，如图③，顶角是130°，从而两个底角是25°，25°．综上所述，三个角的度数为80°，50°，50°或50°，65°，65°或130°，25°，25°。
9．（1）∵DA= DC，∴∠A=∠ACD=30°，∴∠CDB=60°． ∵DB=DC，∴∠B=∠DCB=60°，∴∠ACB=90°； （2）∠ACB=90°； （3）不论∠A等于多少度（小于90°），∠ACB总等于90°。
10．B。 11．证明：连接DE，DF．∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． 又∵BD＝CF，BE＝CD，∴△BDE≌△CFD(SAS)． ∴DE＝DF．∵EG＝GF，∴DG⊥EF． 第6课时 12。
3等腰三角形(2) 【检测1】D。 【检测2】证明：过点A作AD⊥BC，垂足为D． ∵∠B＝∠C，∠ADB＝∠ADC，AD＝AD， ∴△ADB≌△ADC(AAS)．∴AB＝AC； (2)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等或“等角对等边”。
【问题1】已知：如图，∠DAC是△ABC的外角，且∠DAC＝2∠B． 求证：△ABC是等腰三角形． 证明：∵∠DAC＝2∠B，又∵∠DAC＝∠B＋∠C， ∴∠B＝∠C．∴△ABC是等腰三角形 【问题2】∵BD⊥EF， ∴∠F＋∠FCD＝90°，∠B＋∠E＝90°。
∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB。 ∵∠FCD＝∠ACB,∴∠B＝∠FCD。 ∴∠E＝∠F。∴AE＝AF。∴△AEF是等腰三角形。 1．C。 2．2cm。 3．∵PD‖OB，∴∠DPO＝∠BOC． ∵∠BOC＝∠AOC，∴∠DPO＝∠AOC． ∴DP＝DO，即△DOP是等腰三角形。
4．3。 5．(1)证明：∵∠C＝90°，∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°． ∵BD平分∠ABC，∴∠DBA＝30°．∴∠BAC＝∠DBA．∴AD＝BD； (2)在△PAB中，∠BPA＝180°－ ＝135°。
6．证法一：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C． ∵DE⊥BC，∴∠BDE＋∠B＝90°，∠F＋∠C＝90°。 ∴∠BDE＝∠F． ∵∠BDE＝∠ADF，∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD． 证法二：过点A作AH⊥BC于点H． ∵AB＝AC，AH⊥BC，∴∠HAB＝∠HAC． ∵FE⊥BC，AH⊥BC，∴FE‖AH． ∴∠HAC＝∠F，∠HAB＝∠ADF． ∴∠F＝∠ADF．∴AF＝AD。
7．连接CD．∵AD＝BC，AC＝BD，DC＝CD． ∴△ADC≌△BCD．∴∠ACD＝∠BDC．∴OD＝OC。 8．6。 9．证明：在DC上截取DE＝DB，连接AE．则AB＝AE， ∴∠B＝∠AEB．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C． ∵∠AEB＝∠C＋∠EAC，∴∠C＝∠EAC． ∴AE＝EC．∴DC＝DE＋EC＝BD＋AB。
10．D。 11．(1)证明：∵AB＝BA，AC＝BD，∠C＝∠D＝90°，∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL)．∴∠EAB＝∠EBA．∴AE＝BE。 (2)∵∠AEC＝45°，∠C＝90°，∴∠CAE＝45°． ∴∠CAE＝∠CEA．∴CE＝AC＝1。
第7课时 12。3等腰三角形(3) 【检测1】相等，60；等边三角形，60，60。 【检测2】一，三，作图略。 【问题1】∵△ABC是等边三角形，∴∠A=60°． 又∵AD=AE，∴△ADE是等腰三角形． ∴△ADE是等边三角形． 【问题2】DE=DB，理由：∵CD=CE，∴∠E=∠EDC． 又∵∠ACB=60°，∴∠E=30°． 又∵∠DBC=30°，∴∠E=∠DBC，∴DB=DE． 1．150m。
2．B。 3．∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°． ∵AD⊥BC，∴∠DAC＝30°． ∵AE＝AD，∴∠ADE＝ ×(180°－30°)＝75°． ∴∠CDE＝∠ADC－∠ADE＝15°。
4．4。 5．D。 6．∵AP＝PQ＝AQ，∴△APQ是等边三角形． ∴∠PAQ＝∠APQ＝∠AQP＝60°． ∵AP＝BP，∴∠BAP＝∠B＝ ∠APQ＝30°． 同理，∠CAQ＝30°． ∴∠BAC＝∠BAP＋∠PAQ＋∠CAQ＝30°＋60°＋30°＝120°。
7．（1）∵△ABC为等边三角形， ∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC。 又∵BE＝CD． ∴△BCE≌△CAD(SAS)． ∴CE＝AD． （2）由（1）得∠ECB＝∠DAC． ∴∠APE＝∠DAC＋∠ECA＝∠ECB＋∠ECA＝∠ACB＝60°。
8．证明：如图，延长AE到M，使EM＝AB，连接DM． ∵△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°，且AB＝AC．∴EM＝AC． ∵CD＝AE，∴CD＋AC＝AE＋EM．即AD＝AM． ∴△ADM是等边三角形． ∴DA＝DM，且∠M＝60°． 在△DAB和△DME中， ∴△DAB≌△DME(SAS)．∴DB＝DE。
9．(1)∵△ACD和△BCE都是等边三角形， ∴CA＝CD，CE＝CB，∠ACD＝∠BCE＝60°． 于是∠DCE＝60°．∠ACE＝∠DCB＝120°． ∴△ACE≌△DCB(SAS)。
∴AE＝DB。 (2)由第(1)问的结论得∠CAE＝∠CDB． ∵CA＝CD，∠ACG＝∠DCH＝60°． ∴△ACG≌△DCH(ASA)． ∴CG＝CH．而∠DCE＝60°． ∴△CGH是等边三角形。
10．B。 11．证明：(1)∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠ABC＝∠BCD＝90°． ∵△PBC和△QCD是等边三角形， ∴∠PBC＝∠PCB＝∠QCD＝60°。 ∴∠PBA＝∠ABC－∠PBC＝30°，∠PCD＝ ∠BCD－∠PCB＝30°． ∴∠PCQ＝∠QCD－∠PCD＝30°． ∴∠PBA＝∠PCQ＝30°． (2)∵AB＝DC＝QC，∠PBA＝∠PCQ，PB＝PC，∴△PAB≌△PQC，∴PA＝PQ． 第8课时 12。
3等腰三角形(4) 【检测1】一半。 【检测2】4cm。 【问题1】连接AD．∵AB＝AC，点D为BC的中点， ∴AD⊥BC，∠BAD＝60°．从而∠ADE＝30°。 ∴AD＝2AE。由∠B＝30°得AB＝2AD。
∴AB＝4AE，BE＝3AE． ∴AE∶EB＝1∶3。 【问题2】有触礁的危险． 过点P作PC⊥AB，垂足为点C． ∵∠BPA＝∠PBC－∠A＝15°， ∴∠BPA＝∠A，∴AB＝PB＝15×2＝30． 在Rt△PBC中，PC＝ PB＝15海里＜18海里。
故不改变方向，继续向前航行有触礁的危险。 1．12。 2．4cm2 。 3．连接MA，∵MN垂直平分AB，∴MB＝MA＝12。 且∠AMC＝2∠B＝30°．∴AC＝ AM＝6(cm)。
4．3cm。 5．∵ AB＝AC，∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°． 在Rt△CDE中，DC＝2DE＝10． ∵DE垂直平分AC， ∴DA＝DC＝10．∴∠DAC＝∠C＝30°． 于是∠BAD＝120°－30°＝90°． 在Rt△BAD中，BD＝2AD＝20． 故BC＝BD＋DC＝20＋10＝30(cm)。
6．∵△ABC是等边三角形，BD为中线， ∴∠ACB＝60°，于是∠DBC＝30°．∴DC＝ BC． ∵ DE＝DB，∴∠E＝∠DBE＝30°。 ∴∠CDE＝∠ACB－∠E＝30°． ∴DC＝CE。
∴CE＝ BC． 7．过点P作PC⊥OB于点C． ∵PE⊥OA，OP平分∠AOB，∴PE＝PC． ∵PD‖OA，∴∠OPD＝∠POA． ∵∠POB＝∠POA，∴∠OPD＝∠POB．∴PD＝OD． ∴∠PDC＝∠AOB＝30°。
又∵OD＝4cm，∠PCD＝90°， ∴PC＝ PD＝2 cm．∴PE＝PC＝2 cm。 8．解：这个命题是正确的． 已知：如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝2BC． 求证：∠BAC＝30°． 证明：延长BC到点D，使CD＝BC，连接AD．由线段的垂直平分线的性质得AB＝AD． ∵AB＝2BC，BD＝2BC． ∴AB＝BD．∴AD＝AB＝BD． 即△ABD是等边三角形． ∴∠B＝60°．∴∠BAC＝30°。
9．(1)当∠BQP＝90°时，BQ＝ BP．即t＝ (3－t)，t＝1(s)； (2)当∠BPQ＝90°时，BP＝ BQ．即3－t＝ t，t＝2(s)． 故当t＝1 s或t＝2 s时，△PBQ是直角三角形。
10．225a。 提示：过点B作BD⊥AC，垂足为D．则∠BAD＝30°，BD＝ AB＝15m。
11．(1)如图2； (2)∵l垂直平分AB， ∴∠EDB＝90°，EA＝EB．∴∠EBA＝∠A＝30°． ∵∠ACB＝90°，∴∠ABC＝60°． ∴∠EBC＝∠EBD＝30°．∴DE＝CE＝ BE． 又∵∠F＝90°－∠ABC＝30°， ∴EF＝2CE．∴EF＝2DE．。收起
