求f(a,b,c)的最大值和最小值
同意楼上观点。
已知a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=6。
求f(a,b,c)=√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)
的最大值和最小值。
解 f(a,b,c)=√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)
的最大值是9,最小值为7。
上述问题转化为:
已知a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=6。 求证
9≥f(a,b,c)≥7 (1)
由均值不等式得:
3[(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)≥[f(a,b,c)]^2。
而 3[4(a+b+c)+3]=81
∴ 81≥[f(a,b,c)]^2。
∴9≥f(a,b,c)。
当a=b=c=...全部
同意楼上观点。
已知a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=6。
求f(a,b,c)=√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)
的最大值和最小值。
解 f(a,b,c)=√(4a+1)+√(4b+1)+√(4c+1)
的最大值是9,最小值为7。
上述问题转化为:
已知a≥0,b≥0,c≥0,且a+b+c=6。 求证
9≥f(a,b,c)≥7 (1)
由均值不等式得:
3[(4a+1)+(4b+1)+(4c+1)≥[f(a,b,c)]^2。
而 3[4(a+b+c)+3]=81
∴ 81≥[f(a,b,c)]^2。
∴9≥f(a,b,c)。
当a=b=c=2时取得最大值。
因为a+b+c=6,所以(1)右边等价于
√(25a+b+c)+√(25b+c+a)+√(25c+a+b)≥7√(a+b+c)。
设a=max(a,b,c), <==>
√(25a+b+c)-5√(a+b+c)+√(25b+c+a)-√(a+b+c)+√(25c+a+b)-√(a+b+c)≥0。
-24(b+c)/[√(25a+b+c)+5√(a+b+c)]+24b/[√(25b+c+a)+√(a+b+c)]
+24c/[√(25c+a+b)+√(a+b+c)]≥0 (2)
注意
√(25a+b+c)+5√(a+b+c)>√(25b+c+a)+√(a+b+c);
√(25a+b+c)+5√(a+b+c)>√(25c+a+b)+√(a+b+c)。
∴(2)式显然成立。
故f(a,b,c)≥7。
当a=6,b=c=0时取等号。
。收起