关于函数的单调性
“用函数的导数划分单调区间的条件是：除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续。”这个说法是不准确的。根的个数可以是无限个，但只要每两个根之间有一段距离就行了，这样就可以将每两个根之间函数的符号判断出来，然后就可以划分单调区间。
题目中f(x)的导数在任何有限区间内有有限个根，所以这些根两两之间必然有一段距离，因此可以划分区间。
但如果在某个区间内，根的分布十分密集，以至于任意两个根之间都有另一个根，那么就无法划分单调区间了。
下面构造一个无法划分单调区间的例子。
设g(x) = x^2*sin(pi/x)，g(0)=0，这样g(x）在[0, 1]上连续，而且它的根是0，1，1/2,...全部
“用函数的导数划分单调区间的条件是：除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续。”这个说法是不准确的。根的个数可以是无限个，但只要每两个根之间有一段距离就行了，这样就可以将每两个根之间函数的符号判断出来，然后就可以划分单调区间。
题目中f(x)的导数在任何有限区间内有有限个根，所以这些根两两之间必然有一段距离，因此可以划分区间。
但如果在某个区间内，根的分布十分密集，以至于任意两个根之间都有另一个根，那么就无法划分单调区间了。
下面构造一个无法划分单调区间的例子。
设g(x) = x^2*sin(pi/x)，g(0)=0，这样g(x）在[0, 1]上连续，而且它的根是0，1，1/2, 1/3, 。。。, 1/n, 。
。。
由于区间(0,1)之上的有理数是可数的，所以可以写成一个数列：(a1, a2, a3, 。。。)
考虑函数
H(x) = sum g(x - an)/n^2, n=1到正无穷, 0 然而，任意的有理数都是H的根，所以每两个根之间必然还有一个根。所以H是无法划分单调区间的。
再给一个在有限区间内有无穷多个根，但是可以划分单调区间的例子，这个例子就是函数g。g(x）在[0, 1]上连续，而且它的根是0，1，1/2, 1/3, 。
。。, 1/n, 。。。，所以它的单调区间就是：
(1/2, 1),(1/3, 1/2), 。。。(1/n, 1/(n+1) ), 。。。
。收起
