解:
设原式=A,则
A=1+cos(π/5)+cos(3π/5)+cos(π/5)cos(3π/5)
令θ=π/5,则2θ=π-3θ,于是
cos2θ+cos3θ=0
→4(cosθ)^3+2(cosθ)^2-3cosθ-1=0
→(cosθ+1)[4(cosθ)^2-2cosθ-1)=0。
∵cosθ+1不=0,
∴4(cosθ)^2-2cosθ-1=0。
即cos(π/5)是4x^2-2x-1=0的一根。
同理可证,cos(3π/5)也是4x^2-2x-1=0的一根。
依韦达定理得
cos(π/5)+cos(3π/5)=1/2,cos(π/5)cos(3π/5)=-1/4。
代回所设,得A=5/4。
∴[1+cos(π/5)][1+cos(3π/5)]=5/4。