(2014?萧山区模拟)如图所示,ABCD是边长为a的正方形,△PBA是以角B为直角的等腰三角形,H为BD上一点,且AH⊥平面PDB.
(Ⅰ)求证:平面ABCD⊥平面APB;
(Ⅱ)求直线PC与平面PDB所成角的余弦值.
解答:(Ⅰ)证明:∵AH⊥平面PBD,PB?平面PBD,∴AH⊥PB,又PB⊥AB,AH∩AB=A,∴PB⊥平面ABCD,而PB?平面ABP,∴平面ABCD⊥平面APB.(Ⅱ)解:连接CH,∵ABCD是正方形且AH⊥BD,∴C,H,A三点共线,且H为AC,BD的中点,由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD,∴PH就是PC在平面PBD内的射影,∴∠CPH就是直线PC与平面PBD所成的角.在Rt△CHP中,CH=22a,PH=62a,∴tan∠CPH=CHPH=33,∴∠CPH=30°,∴cos∠CPH=32,即直线PC与平面PDB所成角的余弦值为32.。 全部
解答:(Ⅰ)证明:∵AH⊥平面PBD,PB?平面PBD,∴AH⊥PB,又PB⊥AB,AH∩AB=A,∴PB⊥平面ABCD,而PB?平面ABP,∴平面ABCD⊥平面APB.(Ⅱ)解:连接CH,∵ABCD是正方形且AH⊥BD,∴C,H,A三点共线,且H为AC,BD的中点,由AH⊥平面PBD知CH⊥平面PBD,∴PH就是PC在平面PBD内的射影,∴∠CPH就是直线PC与平面PBD所成的角.在Rt△CHP中,CH=22a,PH=62a,∴tan∠CPH=CHPH=33,∴∠CPH=30°,∴cos∠CPH=32,即直线PC与平面PDB所成角的余弦值为32.。
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