矩阵的等价是什么？
对矩阵A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次初等变换而得到矩阵B，称为A等价于B,记为A≌B。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的等价是在讨论一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。 所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用F中任意的一个不为零的元素α去乘矩阵的第i行(列)；②把矩阵的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b为F中任意元素；③互换矩阵的第i与第j行(列)，并分别称为第一、第二、第三种初等变换。 对F上的单位矩阵I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为初等矩阵。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵A的...全部
对矩阵A的行与列或仅对行或仅对列施以若干次初等变换而得到矩阵B，称为A等价于B,记为A≌B。矩阵之间的这个关系具有反身性、对称性和传递性，所以它是一种等价关系。矩阵的等价是在讨论一个向量空间到另一个向量空间的线性变换的各种矩阵表示问题中产生的。
所谓矩阵的初等变换，是指以下的任何一种变换：①用F中任意的一个不为零的元素α去乘矩阵的第i行(列)；②把矩阵的第i行（列）的b倍加于第j行(列)，其中b为F中任意元素；③互换矩阵的第i与第j行(列)，并分别称为第一、第二、第三种初等变换。
对F上的单位矩阵I进行一次初等变换后所得出的矩阵，称为初等矩阵。一种初等变换对应于一种初等矩阵。对矩阵A的行施以某种初等变换的结果,恰等于用相应的初等矩阵去左乘A;对A的列施以某种初等变换的结果,恰等于用相应的初等矩阵去右乘A。
初等矩阵恒为可逆的，且其逆矩阵仍是同一种初等矩阵，因此初等矩阵的积恒为非奇异矩阵。由此可知，等价矩阵的秩数相同，或者说初等变换不改变矩阵的秩数。于是，经若干次初等变换后，必可将每个秩数为r的矩阵的左上角化为r阶单位矩阵,而其他位置都化为0。
n阶非奇异矩阵恒等价于n阶单位矩阵，恒可表为若干个初等矩阵之积。因此,A≌B必要而且只要有非奇异矩阵P、Q使PAQ=B。多项式环F【λ】上的矩阵，简称为λ矩阵。在F【λ】上也可定义行列式。A(λ)的秩数定义为A(λ)的最大非零子式的阶数。
对λ矩阵也可进行初等变换,在第一种初等变换中只能使用F中非零的α，而不能用F【λ】中非零的?(λ);第二种初等变换中则可用F【λ】中任意的g(λ)去代替b。也可以定义可逆性，对于λ矩阵P(λ)若有λ矩阵K(λ)使P(λ)K(λ)=K(λ)P(λ)=I，则称λ矩阵P(λ)是可逆的,λ矩阵K(λ)则称为P(λ)的逆矩阵。
也可以定义λ矩阵的等价。秩数为r的λ矩阵A(λ)必等价于所谓A(λ)的法式即λ矩阵：，这里的诸φi(λ)均由A(λ)惟一确定,且φ1(λ)|φ2(λ)|…|φr(λ)，首项系数均为1。由此可知，一个n阶λ矩阵P(λ)是可逆的，必要而且只要P(λ)为若干个与λ矩阵的初等变换相应的初等矩阵的积；必要而且只要其行列式为F中的非零元素。
两个λ矩阵A(λ)m×n,B(λ)m×n是等价的，必要而且只要有可逆λ矩阵P(λ)、Q(λ)使P(λ)A(λ)Q(λ)=B(λ)。A(λ)的法式中的诸多项式φi(λ)，都称为A(λ)的不变因子，且可作如下分解：式中诸ej(λ)是F【λ】中首项系数为1的互不相同的既约多项式；nij为非负整数，且最后一行中的n1r,n2r,…，nkr均非零，并有。
这些因子，除去指数nij=0者，都称为A(λ)的初等因子。必要而且只要它们的法式相同；必要而且只要它们的全部不变因子一致；必要而且只要它们的秩数与全部初等因子一致。收起
