今年江苏数学竞赛复赛题，我去考的时候不会。
1．设(a√2+b)/(b√2+c)=q/p，其中p,q为整数。则
p(a√2+b)=q(b√2+c)，pb-qc=(qb-pa)√2，
因为 pb-qc 和 qb-pa 都是整数，所以一定有 pb-qc=qb-pa=0。
即 b/c=a/b=q/p，也就是 b^2=ac。
所以 a^2+b^2+c^2=(a^2+2ac+c^2)-b^2=(a+b+c)(a-b+c)。
而且因为b^2=ac，所以a、c必同号，a+b+c=a+c±√(ac) ≠0，
所以 (a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=a-b+c 是整数。
2．A、B、C三点可以连成一个三角形，P1、P2、P3、……、...全部
1．设(a√2+b)/(b√2+c)=q/p，其中p,q为整数。则
p(a√2+b)=q(b√2+c)，pb-qc=(qb-pa)√2，
因为 pb-qc 和 qb-pa 都是整数，所以一定有 pb-qc=qb-pa=0。
即 b/c=a/b=q/p，也就是 b^2=ac。
所以 a^2+b^2+c^2=(a^2+2ac+c^2)-b^2=(a+b+c)(a-b+c)。
而且因为b^2=ac，所以a、c必同号，a+b+c=a+c±√(ac) ≠0，
所以 (a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)=a-b+c 是整数。
2．A、B、C三点可以连成一个三角形，P1、P2、P3、……、Pn都在△ABC内，可记为t(0)=1。
首先 P1 可以与 △ABC 三个顶点连线，分 △ABC 为3个小三角形，可记为t(1)=3。
比原来的t(0)增加了2个；
再看 P2 必落在上述3个小三角形的某个中，可以与该三角形的三个顶点连线，分该三角形为5个小三角形，得到5个小三角形，可记为 t(2)=5，又比原来的t(1)又增加了2个；
……
最后，可以断定 t(n) 是一个等差数列 t(n)=2n+1。
因为上述结论与P1、P2、P3、……、Pn的排列次序无关，所以尽管连线方法分割方法各异，结论总是一样。
3．取直角三角形COP和BOQ两斜边上的中点M和N，连接PM、QN、DM、DN，可知：
（1）DMON是平行四边形，于是有：DM=NO，DN=MO，∠5=∠6。
（2）PM=OM，QN=ON，∠3=2∠1，∠4=∠2。
观察 △PMD和 △DNQ，根据题意 ∠1=∠2 及上述结果，利用等量关系（不细述）有：
PM=DN，DM=QN，∠PMD=∠DNQ。
所以 △PMD≌△DNQ，于是有 DP=DQ。
。收起
