.........数学`在线等
设a1,a2,a3,a4,a5为非O实数,且(a1^+a2^+a3^+a4^)*(a2^+a3^+a4^+a5^)=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5)^,求证a1,a2,a3,a4成等比数列。
提供一种证法:构造二次函数f(x)
f(x)=(a1^+a2^+a3^+a4^)x^-2(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5)x+(a2^+a3^+a4^+a5^)
=(a1x^-2a1a2x+a2^)+(a2x^-2a2a3x+a3^)+。 。。 +(a4x^-2a4a5x+a5^)
=(a1x-a2)^+(a2x-a3)^+(a3x-a4)^+(a4x-a5)^
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设a1,a2,a3,a4,a5为非O实数,且(a1^+a2^+a3^+a4^)*(a2^+a3^+a4^+a5^)=(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5)^,求证a1,a2,a3,a4成等比数列。
提供一种证法:构造二次函数f(x)
f(x)=(a1^+a2^+a3^+a4^)x^-2(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5)x+(a2^+a3^+a4^+a5^)
=(a1x^-2a1a2x+a2^)+(a2x^-2a2a3x+a3^)+。
。。
+(a4x^-2a4a5x+a5^)
=(a1x-a2)^+(a2x-a3)^+(a3x-a4)^+(a4x-a5)^
≥0 对于任意x恒成立
当且仅当 a1x-a2 = a2x-a3 = a3x-a4 = a4x-a5
即:a1/a2 = a2/a3 = a3/a4 = a4/a5 = x 时“=”成立
--->f(x)的判别式=4(a1a2+a2a3+a3a4+a4a5)^-4(a1^+a2^+a3^+a4^)(a2^+a3^+a4^+a5^)≤0
由题意,"="成立--->a1/a2 = a2/a3 = a3/a4 = a4/a5 (证毕)。收起