空间几何体三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于一点或互相平行
已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c。
求证:a,b,c相交于同一点,或a‖b‖c。
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,bβ
∴a,b相交或a‖b。
(1)a,b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a,bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a,b,c都经过点P,即a,b,c三线共点。
(2)当a‖b时
∵α∩γ=c且aα,aγ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a,b,c两两平行。
由此可知a,b,c相交于一点或两两平行。
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用。
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已知:平面α∩平面β=a,平面β∩平面γ=b,平面γ∩平面α=c。
求证:a,b,c相交于同一点,或a‖b‖c。
证明:∵α∩β=a,β∩γ=b
∴a,bβ
∴a,b相交或a‖b。
(1)a,b相交时,不妨设a∩b=P,即P∈a,P∈b
而a,bβ,aα
∴P∈β,P∈α,故P为α和β的公共点
又∵α∩γ=c
由公理2知P∈c
∴a,b,c都经过点P,即a,b,c三线共点。
(2)当a‖b时
∵α∩γ=c且aα,aγ
∴a‖c且a‖b
∴a‖b‖c
故a,b,c两两平行。
由此可知a,b,c相交于一点或两两平行。
说明:此结论常常作为定理使用,在判断问题中经常被使用。
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