已知几何体A―BCED的三视图如图所示,其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形,正视图为直角梯形求(1).几何体的体积(2)异面直线DE和AB所成角的余弦值。
(你的答案已经被之前网友采用,请重新编辑,何故?)
解答见图片:
第一步-------辅助线:
过点D作DE1∥DE,交EC于E1,连接BE1,AE1;
在AB边取中点M,连接CM,EM
第二步-------计算和证明过程:
由侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形可知:
EC=CB=CA=4,EC⊥CB,EC⊥CA
∴AC⊥平面BCED,亦即AC为几何体A-BCED的高
第一问:
几何体(四棱锥A-BCED)的体积=底面积×高÷3
=[(DB+EC)×BC]÷2×AC÷3
=(1+4)×4÷2×4÷3
=40/3
第二问:
∵DE1∥DE,BCED又为直角梯形
∴CE1=4-1=3
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解答见图片:
第一步-------辅助线:
过点D作DE1∥DE,交EC于E1,连接BE1,AE1;
在AB边取中点M,连接CM,EM
第二步-------计算和证明过程:
由侧视图和俯视图都是腰长为4的等腰直角三角形可知:
EC=CB=CA=4,EC⊥CB,EC⊥CA
∴AC⊥平面BCED,亦即AC为几何体A-BCED的高
第一问:
几何体(四棱锥A-BCED)的体积=底面积×高÷3
=[(DB+EC)×BC]÷2×AC÷3
=(1+4)×4÷2×4÷3
=40/3
第二问:
∵DE1∥DE,BCED又为直角梯形
∴CE1=4-1=3
∴在RT△BCE1和RT△ACE1中,AE1=BE1=√(3²+4²)=5
∴在等腰△E1AB中,M又是底边BC的中点
∴E1M⊥AB,而已知AC=BC=4,∴CM⊥AB
∴∠E1MC即为异面直线ED-AB所成角
∴在RT△ECM中:E1C=3,CM=0。
5AB=0。5√(4²+4²)=2√2
∴E1M=√(E1C²+CM²)=√17
∴cos∠E1MC=CM/E1M=√8/√17=8√17/17
。
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