一个底面是平行四边形(非矩形)的
我的结论是：
1、四棱锥的底面平行四边形在一个平面内的射影一定能是一个正方形；
2、整个四棱锥在一个平面内的射影不一定能是一个正方形。
先说1：一个平行四边形在一个平面内的射影一定能是一个正方形。
设一个确定的平行四边形ABCD的边AB=a，AD=b，角A=θ(不失一般性，设是锐角)，
则由余弦定理，得BD^2=a^2+b^2-2abcosθ（*）
假设有一个底边长为x的正四棱柱AMNP-A1M1N1P1正好容纳平行四边形ABCD，意思是：两个A点合一，B在MM1上，C在NN1上，D在PP1上，此时平行四边形ABCD在平面AMNP内的射影就是正方形AMNP。
设角DAP=α，角BA...全部
我的结论是：
1、四棱锥的底面平行四边形在一个平面内的射影一定能是一个正方形；
2、整个四棱锥在一个平面内的射影不一定能是一个正方形。
先说1：一个平行四边形在一个平面内的射影一定能是一个正方形。
设一个确定的平行四边形ABCD的边AB=a，AD=b，角A=θ(不失一般性，设是锐角)，
则由余弦定理，得BD^2=a^2+b^2-2abcosθ（*）
假设有一个底边长为x的正四棱柱AMNP-A1M1N1P1正好容纳平行四边形ABCD，意思是：两个A点合一，B在MM1上，C在NN1上，D在PP1上，此时平行四边形ABCD在平面AMNP内的射影就是正方形AMNP。
设角DAP=α，角BAM=β，则
AP=acosα=x，PD=asinα，AM=bcosβ=x，MB=bsinβ，有如下关系式：
BD^2=(PD-MB)^2+MP^2=(PD-MB)^2+AP^2+AM^2
=a^2+b^2-2absinαsinβ(请自己推导)，对照*式，有
cosθ=sinαsinβ，又acosα=bcosβ，则(cosθ/sinα)^2+a/b*cosα)^2=1，这是一个关于α的方程。
注意：a,b,θ是定值，则α也是确定的值，这样β和正四棱柱底面边长是确定的值，进一步研究可知平面ABCD与平面AMNP的夹角也是确定的。
这里说明结论1是成立的。
2、四棱锥的底面平行四边形在一个平面内的射影一定能是一个正方形，但是它的投影面是确定的，一定容纳在一个确定的正四棱柱中，仅管我们可以假设这个正四棱柱的高是任意的，但是这个四棱锥的顶点还可以“跑到”那个正四棱柱之外，那么整个四棱锥在一个平面内的射影就不能是一个正方形了。
。收起
