求包含2的方根与3的方根的最小数域。
包含2的方根与3的方根的最小数域=
=Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}。
1。显然有[Q(√2):Q]=2,由于√3不是Q(√2)的元素,所以
[Q(√2)(√3):Q(√2)]=2==》[Q(√2,√3):Q}=4。
2。显然Q[√2,√3,√6]是Q(√2,√3)的1部分。
所以Q[√2,√3,√6]为Q(√2,√3)的子空间,
只需证明1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
ⅰ)证明1/(a+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
1/(a+d√6)=(a-d√6)/[a^2-6d^2]∈Q[√2,√3,√...全部
包含2的方根与3的方根的最小数域=
=Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q}。
1。显然有[Q(√2):Q]=2,由于√3不是Q(√2)的元素,所以
[Q(√2)(√3):Q(√2)]=2==》[Q(√2,√3):Q}=4。
2。显然Q[√2,√3,√6]是Q(√2,√3)的1部分。
所以Q[√2,√3,√6]为Q(√2,√3)的子空间,
只需证明1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
ⅰ)证明1/(a+d√6)∈Q[√2,√3,√6]
1/(a+d√6)=(a-d√6)/[a^2-6d^2]∈Q[√2,√3,√6]
ⅱ)1/(a+b√2+c√3+d√6)=
=(-a+b√2+c√3-d√6)/[(a+b√2+c√3+d√6)(-a+b√2+c√3-d√6)]=
=(-a+b√2+c√3-d√6)/[(b√2+c√3)^2-(a+d√6)^2]=
=(-a+b√2+c√3-d√6)/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6]
由ⅰ)得1/[2b^2+3c^2-a^2-6d^2+(2bc-2ad)√6]∈Q[√2,√3,√6]
==》1/(a+b√2+c√3+d√6)∈Q[√2,√3,√6],==》
Q(√2,√3)=Q[√2,√3,√6]]={a+b√2+c√3+d√6,a,b,c,d∈Q},
且1,√2,√3,√6为Q(√2,√3)的1个基。
在“Q(√2+√3)”中也可求出:
Q(√2+√3)=包含2的方根与3的方根的最小数域
。收起