数学,急!!!!如何简单比较n的
【1】最简单的方法【利用导数】
设 f(x)=(lnx)/x,则 f'(x)=(1-lnx)/x^2,
当 0<x<e 时,f'(x)>0,f(x)单调增加;
当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调减少。
即 a<b<e 时,
(lna)/a<(lnb)/b→b(lna)<a(lnb)→a^b<b^a;
而 e<a<b<e 时,
(lna)/a>(lnb)/b→b(lna)>a(lnb)→a^b>b^a。
所以,根据单调性:
①n<n+1<e,即 n=1 时,肯定有 1^2<2^1;
②n=2时,只能尝试出 2^3<3^2;
③n≥3时,e<n<n+1 ,有n^(n+1)>(...全部
【1】最简单的方法【利用导数】
设 f(x)=(lnx)/x,则 f'(x)=(1-lnx)/x^2,
当 0<x<e 时,f'(x)>0,f(x)单调增加;
当 x>e 时,f'(x)<0,f(x)单调减少。
即 a<b<e 时,
(lna)/a<(lnb)/b→b(lna)<a(lnb)→a^b<b^a;
而 e<a<b<e 时,
(lna)/a>(lnb)/b→b(lna)>a(lnb)→a^b>b^a。
所以,根据单调性:
①n<n+1<e,即 n=1 时,肯定有 1^2<2^1;
②n=2时,只能尝试出 2^3<3^2;
③n≥3时,e<n<n+1 ,有n^(n+1)>(n+1)^n,即
3^4>4^3,4^5>5^4,5^6>6^5,6^7>7^6,……
【2】不用导数,思路就很复杂,
n=1,2,同上验证。
n≥3时,
(n+1)^n=n^n+[C(n,1)]n^(n-1)+[C(n,2)]n^(n-2)+[C(n,3)]n^(n-3)+……+[C(n,n-2)]n^2+[C(n,n-1)]n+1,
当 k=2,3,4,……,n-1 时,
C(n,n-k)<n^(n-k) → [C(n,n-k)]n^k<n^n,
[C(n,n-1)]n+1=n^2+1<n^n,
这样就有
(n+1)^n<n^n+n^n+n^n+……+n^n(共n项)
=n*n^n=n^(n+1)
。
收起