几何题一个三角形ABC,AB=A
△ABC中，E是AC上的一点，连结BE，
① 若AB=AC，BE是∠ABC的平分线，且AE+BE=BC，求证：∠A=100°。
② 若AB=AC，∠A=100°，且AE+BE=BC，则BE是∠ABC的平分线。
③ 若∠A=100°，BE是∠ABC的平分线，且AE+BE=BC，求证：AB=AC。
实际上，上述三个命题中的三个已知条件，一个结论，这些都满足唯一性原则, 所以上述三个命题的命题，逆命题，否命题，逆否命题都成立且重合。
证① 在BC上取点BA’=BA, 连DA’，显然△ABD≌△A’BD ==>AD=A’D。
设x=∠B/2，则∠B=∠C=2x，∠A=180°-4x。 ∠A...全部
△ABC中，E是AC上的一点，连结BE，
① 若AB=AC，BE是∠ABC的平分线，且AE+BE=BC，求证：∠A=100°。
② 若AB=AC，∠A=100°，且AE+BE=BC，则BE是∠ABC的平分线。
③ 若∠A=100°，BE是∠ABC的平分线，且AE+BE=BC，求证：AB=AC。
实际上，上述三个命题中的三个已知条件，一个结论，这些都满足唯一性原则, 所以上述三个命题的命题，逆命题，否命题，逆否命题都成立且重合。
证① 在BC上取点BA’=BA, 连DA’，显然△ABD≌△A’BD ==>AD=A’D。
设x=∠B/2，则∠B=∠C=2x，∠A=180°-4x。 ∠ADB=∠A’DB=3x,∠DA’C=4x。
在BC上选点D’, 使∠CDD’=2x, 即△CDD’ 为等腰三角形, 得:CD’=DD’。
因为∠DD’A’=∠C+∠CDD’=4x, ∠DA’D’=4x ==> △DD’A’ 为等腰三角形。
所以有CD’=DD’=DA’=AD。
由于BC=BD+AD=BD+CD’ ，所以BD=BD’, ∠BDD’=∠BD’D=4x,
故∠A’DD’=∠BDD’-∠BDA’=x。
在△A’DD’ 中可得:9x=180°, ==>x=20°。
于是∠A=180°-4x=100°。 证毕。
证② 设t=∠ABD, 则∠ADC=80°-t， 则t sin(80°-2t)/ sin80°= sin(80°-t)/( sint+sin100°) (4)
(4)式中的t是唯一解的。
对于已知恒等式:
sin40°/sin80°=sin60°/(sin20°+sin100°) (5)
对比(4)与(5)得:t=20°，故∠ABC=40°=∠ACB。从而得AB=AC,
。
收起
