不等式证明已知x,y,z属于正实
已知x,y,z属于正实数,xyz=1,且x(1+z)>1,y(1+x)>1,z(1+y)>1,
求证: 2(x+y+z)>=1/x+1/y+1/z+3
解 设a,b,c为正实数，令x=a/b, y=b/c, z=c/a，显然满足xyz=1。
因为 x(1+z)>1， (a/b)*(1+c/a)>1 c+a>b，
同样可得:
y(1+x)>1 a+b>c，
z(1+y)>1 b+c>a,
所以a,b,c可构成一个三角形。
待证不等式作置换后等价于，在三角形ABC中，
2(a^2*c+b^2*a+c^2*b)>=a^2*b+b^2*c+c^2*a+3abc (1)
关于(1)式...全部
已知x,y,z属于正实数,xyz=1,且x(1+z)>1,y(1+x)>1,z(1+y)>1,
求证: 2(x+y+z)>=1/x+1/y+1/z+3
解 设a,b,c为正实数，令x=a/b, y=b/c, z=c/a，显然满足xyz=1。
因为 x(1+z)>1， (a/b)*(1+c/a)>1 c+a>b，
同样可得:
y(1+x)>1 a+b>c，
z(1+y)>1 b+c>a,
所以a,b,c可构成一个三角形。
待证不等式作置换后等价于，在三角形ABC中，
2(a^2*c+b^2*a+c^2*b)>=a^2*b+b^2*c+c^2*a+3abc (1)
关于(1)式的证明有许多证法，下面仅给出两种证法。
证法一 不等式(1)等价于
-6abc>=2(a^2*b+b^2*c+c^2*a)-4(a^2*c+b^2*a+c^2*b)
上式两边各加a^2*b+b^2*c+c^2*a+a^2*c+b^2*a+c^2*b
a^2*b+b^2*c+c^2*a+a^2*c+b^2*a+c^2*b-6abc>=3(a^2*b+b^2*c+c^2*a-a^2*c-b^2*a-c^2*b)
a(b-c)^2+b(a-c)^2+c(a-b)^2>=3(a-b)*(b-c)*(a-c)
因为 a>︱b-c︱, b>︱a-c︱, c>︱a-b︱，
故欲证上式仅需证
[︱b-c︱]^3+[︱a-c︱]^3+[︱a-b︱]^3≥3︱(a-b)*(b-c)*(a-c)︱。
上式是已知不等式。
证法二 令a=y+z, b=z+x, c=x+y，x,y,z是正实数[此地的x,y,z与原题中不同的]，将其代入(1)式化简等价于
x^3+y^3+z^3-xz^2-yx^2-zy^2≥0
上式是已知不等式。收起
