几何问题O为三角形ABC外心，H
所提问题有误
九点圆直径=外接圆半径
用余弦定理可求
AH=2RcosA,AO=R,∠HAO=B-C
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长。
下面给出常见几个心距。
OI^2=R(R-2r);
IG^2=(s^2-16Rr+5r^2)/9
IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;
IQ=(R-2r)/2
OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2;
QG=OH/6,HQ=OQ=OH/2,GO=OH/3。 [H,Q,G,O在欧拉线上]
求解三角形心距有几种方法。
(1)余弦定理
AH=2RcosA,AO=R,∠HAO=｜B-C｜
OH^...全部
所提问题有误
九点圆直径=外接圆半径
用余弦定理可求
AH=2RcosA,AO=R,∠HAO=B-C
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长。
下面给出常见几个心距。
OI^2=R(R-2r);
IG^2=(s^2-16Rr+5r^2)/9
IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2;
IQ=(R-2r)/2
OH^2=9R^2-a^2-b^2-c^2;
QG=OH/6,HQ=OQ=OH/2,GO=OH/3。
[H,Q,G,O在欧拉线上]
求解三角形心距有几种方法。
(1)余弦定理
AH=2RcosA,AO=R,∠HAO=｜B-C｜
OH^2=4R^2*(cosA)^2+R^2-4R^2*cosA*cos(B-C)
=5R^2-4R^2*(sinA)^2+2R^2*[cos(2B)+cos(2C)]
=9R^2-4R^2*(sinA)^2-4R^2*(sinB)^2-4R^2*(sinC)^2
=9R^2-a^2-b^2-c^2;
(2)重心性质:AP^2+BP^2+CP^2=AG^2+BG^2+CG^2+3GP^2。
AG^2+BG^2+CG^2=(a^2+b^2+c^2)/3,
∵AI^2=bc(s-a)/s, BI^2=ca(s-b)/s, CI^2=ab(s-c)/s。
AI^2+BI^2+CI^2=s^2-8Rr+r^2。
∴9GI^2=3(s^2-8Rr+r^2)-(a^2+b^2+c^2)
=s^2-16Rr+5r^2
(3)利用中线公式
在△IOH中,
∵IO^2=R(R-2r), IH^2=4R^2+4Rr+3r^2-s^2,OH^2=9R^2+8Rr+2r^2-2s^2。
∴4IQ^2=2IO^2+2IH^2-OH^2
=2R(R-2r)+2(4R^2+4Rr+3r^2-s^2)-(9R^2+8Rr+2r^2-2s^2)
=R^2-4Rr+4r^2=(R-2r)^2。
∴IQ=(R-2r)/2。
(4)利用垂足三角形面积公式:S(P)=S*｜R^2-PO^2｜/(4R^2)
易求内心I的垂足三角形面积
S(I)=(r^2*(sinA+sinB+sinC)/2=s*r^2/(2R)=S*r/(2R)
∴S*r/(2R)=S*｜R^2-IO^2｜/(4R^2)
∴IO^2=R(R-2r)。
当然用余弦定理也可求得。
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长,G重心为,H为垂心。
由三角形的恒等式
∵AG^2=(2b^2+2c^2-a^2)/9,BG^2=(2c^2+2a^2-b^2)/9,CG^2=(2a^2+2b^2-c^2)/9,
∴AG^2+BG^2+CG^2=(a^2+b^2+c^2)/3,
∵AH=2RcosA, BH=2RcosB, CH=2RcosC。
∴AH^2+BH^2+CH^2=12R^2-a^2-b^2-c^2。
由三角形重心性质:
3GH^2=AH^2+BH^2+CH^2-AG^2-BG^2-CG^2
9GH^2=3(12R^2-a^2-b^2-c^2)-a^2-b^2-c^2
9GH^2=4(9R^2--a^2-b^2-c^2)。
也可根据GH=2OH/3=2GO关系求得。
设R,r,s分别表示△ABC的外接圆半径，内切圆半径和半周长,a,b,c为其边长。
易证 AH=2RcosA,AO=R,∠HAO=｜B-C｜。
由余弦定理得
OH^2=4R^2*(cosA)^2+R^2-4R^2*cosA*cos(B-C)
=5R^2-4R^2*(sinA)^2+2R^2*[cos(2B)+cos(2C)]
=9R^2-4R^2*(sinA)^2-4R^2*(sinB)^2-4R^2*(sinC)^2
=9R^2-a^2-b^2-c^2。
仅供参考。
。收起
