若三角形有两角的平分线相等,则此三角形为等腰三角形的证明
若三角形有两角的平分线相等,则此三角形为等腰三角形的证明
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这个定理是斯坦纳—莱默斯定理，定理内容是：有两条内角平分线相等的三角形是等腰三角形。
这个问题是1840年莱默斯在给斯图姆的一封信中提出的。他请出给出一个纯几何学的证明。
斯图姆向许多数学家提到了这件事。首先回答这个问题的是瑞士几何大师斯坦纳。后来该定理就以斯坦纳—莱默斯定理而闻名于世。 〈请读者自行画图〉 已知：三角形ABC中，BE,CF是角B,C的平分线，BE=CF 求证：AB=AC 证明一：设AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中 BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE 作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形 则角FCG=FGC 因为角FCE>FGE 所以角ECGEG=BF 显然〈1〉〈2〉矛盾 同理AB<AC矛盾 则AB=AC 证明二：引证:若三角形AD为角平分线，则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c) 由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则AD2=bc(1-(a/(b+c)2) 三角形ABC中BE CF为角B C的平分线 由BE=CE得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0 所以b=c 。
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斯图姆向许多数学家提到了这件事。首先回答这个问题的是瑞士几何大师斯坦纳。后来该定理就以斯坦纳—莱默斯定理而闻名于世。 〈请读者自行画图〉 已知：三角形ABC中，BE,CF是角B,C的平分线，BE=CF 求证：AB=AC 证明一：设AB>AC,于是角ACB>角ABC 角BCF=FCE=ACB>1/2角ABC=CBE=CBF 在三角形BCF和三角形CBF中 BC=BC BE=CF 角BCF>CBE 所以BF>CE 作平行四边形BEGF,则角EBF=FGE EG=BF FG=BE=CF 连接CG,三角形FCG为等腰三角形 则角FCG=FGC 因为角FCE>FGE 所以角ECGEG=BF 显然〈1〉〈2〉矛盾 同理AB<AC矛盾 则AB=AC 证明二：引证:若三角形AD为角平分线，则BD/c=CD/b=BC/(b+c)=a/(b+c) 所以BD=ac/(b+c) CD=ab/(b+c) 由斯特瓦尔特定理得：c2(ab/(b+c))+b2(ac/(b+c))-aAD2=aa2bc/(b+c)2 则AD2=bc(1-(a/(b+c)2) 三角形ABC中BE CF为角B C的平分线 由BE=CE得 ca(1-(b/(a+c)2)=ab(1-(c/(a+b)2) 所以a(a+b+c)((a+b+c)(a2+bc)+bc)(b-c)=0 所以b=c 。
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