数学题超难！！！在△ABC中，已
在△ABC中，已知B（-2，0）、C（2，0），AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段（向量AD）的比为3:1，又已知点P（-√3，0）、Q（√3，0）。 （1）求点H的轨迹方程。
（2）若存在点M满足（向量MH）=7（向量HQ），且线段PM的垂直平分线恰过点H，求此时△ABC的顶点A的坐标。
（3）在（2）的条件下，试问：在轨迹H上是否存在这样的点T，使得△APT的周长最大？若存在，请找到这样的点T，并求出△APT的周长的最大值；若不存在，请说明理由。
（1）设点H的坐标为(x,y)，AH:DH=3--->DA=4DH--->A(x,4y)
--->k(AC)=4y/(x-2),...全部
在△ABC中，已知B（-2，0）、C（2，0），AD⊥BC于D，△ABC的垂心H分有向线段（向量AD）的比为3:1，又已知点P（-√3，0）、Q（√3，0）。 （1）求点H的轨迹方程。
（2）若存在点M满足（向量MH）=7（向量HQ），且线段PM的垂直平分线恰过点H，求此时△ABC的顶点A的坐标。
（3）在（2）的条件下，试问：在轨迹H上是否存在这样的点T，使得△APT的周长最大？若存在，请找到这样的点T，并求出△APT的周长的最大值；若不存在，请说明理由。
（1）设点H的坐标为(x,y)，AH:DH=3--->DA=4DH--->A(x,4y)
--->k(AC)=4y/(x-2), k(BH)=y/(x+2)
H是垂心--->BH⊥AC--->k(BH)k(AC)=-1--->4y^/(x^-4)=-1
--->x^+4y^=4。
。。。。。
此即H的轨迹方程（一个椭圆出去两个长轴顶点）
（2）由椭圆H方程--->a=2,b=1,c=√3,离心率e=√3/2,右准线x=4/√3
知：P、Q是其左右两个焦点--->|HP|+|HQ|=4
PM的垂直平分线过H--->|HP|=|HM|--->|HM|+|HQ|=4
又：MH=7HQ--->|HP|=|HM|=7/2,|HQ|=1/2=e(4/√3-x)=2-ex
--->H的横坐标x=√3--->H的纵坐标y=1/2--->A坐标(√3,2)
（3）--->AQ⊥x, |AQ|=4|HQ|--->|AQ|=2,又|PQ|=2√3--->|AP|=4
△APT的周长=|AP|+|PT|+|AT|=4+(2-|QT|)+|AT|=6+(|AT|-|QT|)最大
--->T点必在AT的延长线上，即：Tm(√3,-1/2)
(否则△ATQ中，|AT|-|QT|＜|AQ|=|ATm|-|QTm|)。收起
