160 求微分方程的通解
若按x>0求解：
dy/dx=[y-√(x^2+y^2)]/x =y/x-√[1+(y/x)^2]
令u=y/x,则y=xu,y'=u+xu'
代入原方程，得
u+xu'=u-√(1+u^2)
du/√(1+u^2)=-dx/x，两边积分，得到
ln[u+√(1+u^2)]=-lnx+lnC=ln(C/x)
==> u+√(1+u^2)=C/x
通解：y/x+√[(x^2+y^2)/x^2]=C/x，
即y/x+[√(x^2+y^2)]/x=C/x，
即y+√(x^2+y^2)=C。
若按x u+√(1+u^2)=C/x
通解：y/x+√[(x^2+y^2)/x^2]=Cx，
即y/x...全部
若按x>0求解：
dy/dx=[y-√(x^2+y^2)]/x =y/x-√[1+(y/x)^2]
令u=y/x,则y=xu,y'=u+xu'
代入原方程，得
u+xu'=u-√(1+u^2)
du/√(1+u^2)=-dx/x，两边积分，得到
ln[u+√(1+u^2)]=-lnx+lnC=ln(C/x)
==> u+√(1+u^2)=C/x
通解：y/x+√[(x^2+y^2)/x^2]=C/x，
即y/x+[√(x^2+y^2)]/x=C/x，
即y+√(x^2+y^2)=C。
若按x u+√(1+u^2)=C/x
通解：y/x+√[(x^2+y^2)/x^2]=Cx，
即y/x-[√(x^2+y^2)]/x=Cx，
即y-√(x^2+y^2)=Cx^2……（1）
注意：因为y-√(x^2+y^2)=[y^2-(x^2+y^2)]/[y+√(x^2+y^2)]
=-(x^2)/[y+√(x^2+y^2)]
所以（1）式就是-(x^2)/[y+√(x^2+y^2)]=Cx^2，即
y+√(x^2+y^2)=-1/C
-1/C是任意常数，所以按x0求得的解实际上是一样的。
不过要注意，把x从根号外拿到根号内，求解以后还要把x从根号内拿到根号外来，在做这两件事时，x应该看作符号是相同的，否则方程的解可能是有错误的。
不是专门研究数学的，遇到这种情况一般就认定x>0求解就是了，因为考虑太周到有的时候是很麻烦的。
。收起
