求三角函数积分
∫[sin(bx)]^Adx=1/b{∫[sin(bx)]^Ad(bx)}=-1/b{∫[sin(bx)]^(A-1)d(cosbx)}
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+1/b∫cosbxd[sin(bx)]^(A-1) (* 分步积分法)
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫(cosbx)^2[sin(bx)]^(A-2)dx
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫[1-(sinbx)^2][sin(bx)]^(A-2)dx
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫[si...全部
∫[sin(bx)]^Adx=1/b{∫[sin(bx)]^Ad(bx)}=-1/b{∫[sin(bx)]^(A-1)d(cosbx)}
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+1/b∫cosbxd[sin(bx)]^(A-1) (* 分步积分法)
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫(cosbx)^2[sin(bx)]^(A-2)dx
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫[1-(sinbx)^2][sin(bx)]^(A-2)dx
=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫[sin(bx)]^(A-2)dx-(A-1)∫[sin(bx)]^Adx
移项得:
A∫[sin(bx)]^Adx=-1/bcos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)∫[sin(bx)]^(A-2)dx
所以
∫[sin(bx)]^Adx=-1/(bA) cos(bx) *sin(bx)^(A-1)+(A-1)/A∫[sin(bx)]^(A-2)dx
这是递推公式。
例如:A=5,b=1
则∫(sinx)^5dx=-1/5(sinx)^4cosx+4/5∫(sinx)^3dx=
=-1/5(sinx)^4cosx+4/5[-1/3(sinx)^3cosx+2/3∫(sinx)dx]
=-1/5(sinx)^4cosx-4/15(sinx)^3cosx+8/15∫(sinx)dx
=-1/5(sinx)^4cosx-4/15(sinx)^3cosx-8/15cosx+C
。
收起