谁能帮助推导一下普通年金的公式？
年金（annuity），就是一系列有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动，是一项最常见的金融工具。
以下介绍的推导年金公式的方法，借用了“金边债券”（也叫“永续年金”，perpetuity）”的公式。 我们知道，永续年金是一系列没有止境的等额现金流，若每年支付额为C，相关利率为r，则永续年金的现值为C/r。接下来，我们便利用这个结果来推导年金现值公式。
1。 年金现值公式的推导（年金额为C，利率为r，期限为t，期末支付）。 为求出年金的现值，必须求下式的值：
C/(1+r) + C/(1+r)^2 + C/(1+r)^3 + 。。。 + C/(1+r)^t
我们可以把年金的现值看成两...全部
年金（annuity），就是一系列有规律的、持续一段固定时期的现金收付活动，是一项最常见的金融工具。
以下介绍的推导年金公式的方法，借用了“金边债券”（也叫“永续年金”，perpetuity）”的公式。
我们知道，永续年金是一系列没有止境的等额现金流，若每年支付额为C，相关利率为r，则永续年金的现值为C/r。接下来，我们便利用这个结果来推导年金现值公式。
1。 年金现值公式的推导（年金额为C，利率为r，期限为t，期末支付）。
为求出年金的现值，必须求下式的值：
C/(1+r) + C/(1+r)^2 + C/(1+r)^3 + 。。。 + C/(1+r)^t
我们可以把年金的现值看成两个永续年金现值的相减（见附图）。
金边债券1是正常的从第1期开始支付的永续年金，其现值公式为C/r。
而金边债券2为从t+1期开始支付的永续年金，该年金在第t期的现值为C/r，而在当前（第0期）的现值为其第t值的贴现，即(C/r)/(1+r)^t。
两个公式相减，就得到年金现值公式：
C/r - (C/r)/(1+r)^t
=C[1/r - (1/r)/(1+r)^t] -------（1）
其中大括号内即为年金现值系数（annuity factor）—— A(r,t)。
所以若有年金现值系数表，求年金现值时也可用C*A(r,t)。当然，前述公式也可写成：
(C/r)[1-1/(1+r)^t] ------（2）
不过，公式（1）把年金和年金现值系数分开，比较方便我们根据其推导过程来进行记忆。
2。 年金终值系数的推导（年金额为C，利率为r，期限为t，期末支付）。直接从现值公式就可推得，也就是把现值乘上(1+r)^t，得到现值在t期后的终值：
C[1/r - (1/r)/(1+r)^t](1+r)^t
=C[(1+r)^t/r - 1/r] --------- （3）
推导完毕（上述所有公式中，^均表示乘方，^t表示t次方）。
此外，年金公式推导还可采用等比数列的公式，类似楼上学长的思路，这里就不再给出。
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欲达则不速。
。收起
